Номер 12.30, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.30. Два трактора различной мощности могут совместно вспахать все поле за 90 часов работы. Если бы первый трактор работал один 12 часов, затем второй 20 часов, то было бы вспахано только 20% от площади всего поля. Сколько времени потребуется каждому трактору на вспашку всего поля?

Примем всю работу по вспашке поля за 1 (единицу).

Пусть $x$ часов — это время, за которое первый трактор может вспахать все поле, работая в одиночку. Тогда его производительность (часть поля, вспахиваемая за 1 час) составляет $p_1 = \frac{1}{x}$.

Пусть $y$ часов — это время, за которое второй трактор может вспахать все поле, работая в одиночку. Тогда его производительность составляет $p_2 = \frac{1}{y}$.

Из первого условия известно, что оба трактора, работая совместно, вспахивают поле за 90 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $p_1 + p_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Работа равна произведению производительности на время, поэтому мы можем составить первое уравнение:

$( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) \cdot 90 = 1$, что равносильно $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{90}$.

Из второго условия известно, что если первый трактор работает 12 часов, а затем второй — 20 часов, то они вспахивают 20% поля. 20% — это $0.2$ или $\frac{1}{5}$ часть поля. Работа, выполненная первым трактором, равна $12 \cdot p_1 = \frac{12}{x}$. Работа, выполненная вторым трактором, равна $20 \cdot p_2 = \frac{20}{y}$. Суммарная работа составляет:

$\frac{12}{x} + \frac{20}{y} = \frac{1}{5}$. Это наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{90} \\ \frac{12}{x} + \frac{20}{y} = \frac{1}{5}\end{cases}$

Для удобства решения можно сделать замену переменных. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + b = \frac{1}{90} \\ 12a + 20b = \frac{1}{5}\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = \frac{1}{90} - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$12a + 20(\frac{1}{90} - a) = \frac{1}{5}$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $a$:

$12a + \frac{20}{90} - 20a = \frac{1}{5}$

$12a - 20a = \frac{1}{5} - \frac{2}{9}$

$-8a = \frac{9}{45} - \frac{10}{45}$

$-8a = -\frac{1}{45}$

$a = \frac{1}{45 \cdot 8} = \frac{1}{360}$

Поскольку $a = \frac{1}{x}$, то $x = \frac{1}{a} = 360$. Значит, первому трактору для вспашки всего поля требуется 360 часов.

Теперь найдем $b$, подставив значение $a$ в выражение для $b$:

$b = \frac{1}{90} - a = \frac{1}{90} - \frac{1}{360}$

Приведем дроби к общему знаменателю 360:

$b = \frac{4}{360} - \frac{1}{360} = \frac{3}{360} = \frac{1}{120}$

Поскольку $b = \frac{1}{y}$, то $y = \frac{1}{b} = 120$. Значит, второму трактору для вспашки всего поля требуется 120 часов.

Ответ: первому трактору потребуется 360 часов, а второму — 120 часов, чтобы вспахать все поле в одиночку.