Номер 12.25, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.25. На строительстве железной дороги работали две путевые бригады. Первая бригада ежедневно прокладывала на 40 м путей больше второй и проложила 270 м железнодорожного пути. Вторая бригада работала на 2 дня больше первой и проложила 250 м. Сколько дней работала каждая бригада?

Пусть $v_1$ (м/день) и $t_1$ (дней) — производительность и время работы первой бригады, а $v_2$ (м/день) и $t_2$ (дней) — производительность и время работы второй бригады.
Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Производительность первой бригады на 40 м/день больше второй: $v_1 = v_2 + 40$.
2. Общий объем работы первой бригады — 270 м: $v_1 \cdot t_1 = 270$.
3. Вторая бригада работала на 2 дня больше первой: $t_2 = t_1 + 2$.
4. Общий объем работы второй бригады — 250 м: $v_2 \cdot t_2 = 250$.
Наша цель — найти $t_1$ и $t_2$. Для этого выразим производительности $v_1$ и $v_2$ через время и подставим в первое уравнение.
Из уравнения (2) получаем: $v_1 = \frac{270}{t_1}$.
Из уравнений (3) и (4) получаем: $v_2 = \frac{250}{t_2} = \frac{250}{t_1 + 2}$.
Подставим эти выражения в уравнение (1):
$\frac{270}{t_1} = \frac{250}{t_1 + 2} + 40$
Решим полученное рациональное уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $t_1(t_1 + 2)$, при условии, что $t_1 \ne 0$ и $t_1 \ne -2$:
$270(t_1 + 2) = 250 \cdot t_1 + 40 \cdot t_1(t_1 + 2)$
Раскроем скобки:
$270t_1 + 540 = 250t_1 + 40t_1^2 + 80t_1$
Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном квадратном виде $ax^2 + bx + c = 0$:
$270t_1 + 540 = 330t_1 + 40t_1^2$
$40t_1^2 + 330t_1 - 270t_1 - 540 = 0$
$40t_1^2 + 60t_1 - 540 = 0$
Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 20:
$2t_1^2 + 3t_1 - 27 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225$
$\sqrt{D} = 15$
Теперь найдем значения $t_1$:
$t_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$t_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4.5$
Поскольку время работы ($t_1$) не может быть отрицательным, единственное подходящее решение — $t_1 = 3$.
Таким образом, первая бригада работала 3 дня.
Теперь найдем время работы второй бригады, используя соотношение $t_2 = t_1 + 2$:
$t_2 = 3 + 2 = 5$
Вторая бригада работала 5 дней.
Ответ: первая бригада работала 3 дня, вторая бригада работала 5 дней.