Номер 12.6, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.6.

1) Моторная лодка прошла по течению реки 8 км, против течения — 3 км, затратив на весь путь 0,75 часа. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2) Моторная лодка прошла по течению реки 20 км, против течения — 30 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 3 км/ч, а на весь путь затрачено 6 часов 40 минут.

1)

Пусть собственная скорость лодки равна $v$ км/ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Тогда скорость лодки по течению составляет $v + 2$ км/ч, а скорость против течения — $v - 2$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v > 2$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, вычисляется по формуле $t = S/V$. В данном случае это $t_1 = \frac{8}{v+2}$ часа.

Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_2 = \frac{3}{v-2}$ часа.

Общее время на весь путь равно 0,75 часа. Составим и решим уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$\frac{8}{v+2} + \frac{3}{v-2} = 0,75$

Так как $0,75 = \frac{3}{4}$, уравнение можно переписать в виде:

$\frac{8}{v+2} + \frac{3}{v-2} = \frac{3}{4}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(v+2)(v-2) = v^2-4$:

$\frac{8(v-2) + 3(v+2)}{v^2-4} = \frac{3}{4}$

$\frac{8v - 16 + 3v + 6}{v^2-4} = \frac{3}{4}$

$\frac{11v - 10}{v^2-4} = \frac{3}{4}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$4(11v - 10) = 3(v^2-4)$

$44v - 40 = 3v^2 - 12$

$3v^2 - 44v + 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 28 = 1936 - 336 = 1600$

Корни уравнения:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{44 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 3} = \frac{44 \pm 40}{6}$

$v_1 = \frac{44+40}{6} = \frac{84}{6} = 14$

$v_2 = \frac{44-40}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Корень $v_2 = \frac{2}{3}$ не удовлетворяет условию задачи $v > 2$. Следовательно, собственная скорость лодки составляет 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч.

2)

Пусть собственная скорость лодки равна $v$ км/ч. Скорость течения реки — 3 км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна $v + 3$ км/ч, а против течения — $v - 3$ км/ч. Очевидно, что $v > 3$ км/ч.

Время движения по течению: $t_1 = \frac{20}{v+3}$ часа.

Время движения против течения: $t_2 = \frac{30}{v-3}$ часа.

Общее время в пути — 6 часов 40 минут. Переведем минуты в часы: $40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3}$ часа. Таким образом, общее время составляет $6 \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$ часа.

Составим уравнение, приравняв сумму времени в пути к общему времени:

$\frac{20}{v+3} + \frac{30}{v-3} = \frac{20}{3}$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 10:

$\frac{2}{v+3} + \frac{3}{v-3} = \frac{2}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v^2-9$:

$\frac{2(v-3) + 3(v+3)}{v^2-9} = \frac{2}{3}$

$\frac{2v - 6 + 3v + 9}{v^2-9} = \frac{2}{3}$

$\frac{5v + 3}{v^2-9} = \frac{2}{3}$

Применим свойство пропорции:

$3(5v + 3) = 2(v^2-9)$

$15v + 9 = 2v^2 - 18$

$2v^2 - 15v - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 225 + 216 = 441$

Найдем корни:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{15 \pm 21}{4}$

$v_1 = \frac{15+21}{4} = \frac{36}{4} = 9$

$v_2 = \frac{15-21}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$

Корень $v_2 = -1,5$ является посторонним, так как скорость не может быть отрицательной. Условию $v > 3$ удовлетворяет только корень $v_1 = 9$.

Ответ: 9 км/ч.