Номер 12.1, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Из города А в город В, длина пути между которыми 20 км, одновременно вышли 2 пешехода. Скорость одного из них была на 1 км/ч больше скорости другого, поэтому он затратил на весь путь на 60 минут меньше. Какова скорость каждого пешехода?

2) Из города А в город В выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста на 10 км/ч меньше скорости мотоциклиста, поэтому он затратил на весь путь на 6 часов больше. С какой скоростью ехал мотоциклист, если длина пути между городами равна 120 км?

1)

Пусть $v$ км/ч — скорость медленного пешехода. Тогда скорость быстрого пешехода равна $(v+1)$ км/ч.
Расстояние между городами А и В равно $S = 20$ км.
Время, которое затратил на путь медленный пешеход, равно $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{20}{v}$ часов.
Время, которое затратил на путь быстрый пешеход, равно $t_2 = \frac{S}{v+1} = \frac{20}{v+1}$ часов.
По условию, быстрый пешеход затратил на 60 минут (то есть на 1 час) меньше времени. Составим уравнение:

$t_1 - t_2 = 1$

$\frac{20}{v} - \frac{20}{v+1} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $v(v+1)$:

$\frac{20(v+1) - 20v}{v(v+1)} = 1$

Так как скорость не может быть равна нулю, $v \neq 0$ и $v+1 \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $v(v+1)$:

$20(v+1) - 20v = v(v+1)$

$20v + 20 - 20v = v^2 + v$

$20 = v^2 + v$

Перенесем все в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$v^2 + v - 20 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = -5$

$v_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = 4$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_1 = -5$ не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, скорость медленного пешехода равна 4 км/ч.
Тогда скорость быстрого пешехода равна $v+1 = 4+1 = 5$ км/ч.

Ответ: скорость одного пешехода 4 км/ч, скорость другого — 5 км/ч.

2)

Пусть $v$ км/ч — скорость мотоциклиста. Тогда скорость велосипедиста равна $(v-10)$ км/ч.
Расстояние между городами А и В равно $S = 120$ км.
Время, которое затратил на путь мотоциклист, равно $t_м = \frac{S}{v} = \frac{120}{v}$ часов.
Время, которое затратил на путь велосипедист, равно $t_в = \frac{S}{v-10} = \frac{120}{v-10}$ часов.
По условию, велосипедист затратил на 6 часов больше времени. Составим уравнение:

$t_в - t_м = 6$

$\frac{120}{v-10} - \frac{120}{v} = 6$

Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения:

$\frac{20}{v-10} - \frac{20}{v} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $v(v-10)$:

$\frac{20v - 20(v-10)}{v(v-10)} = 1$

Так как скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста, то $v > 10$, а значит $v \neq 0$ и $v-10 \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $v(v-10)$:

$20v - 20(v-10) = v(v-10)$

$20v - 20v + 200 = v^2 - 10v$

$200 = v^2 - 10v$

Перенесем все в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$v^2 - 10v - 200 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{10 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 30}{2} = -10$

$v_2 = \frac{10 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 30}{2} = 20$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_1 = -10$ не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, скорость мотоциклиста равна 20 км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста 20 км/ч.