Страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Из города А в город В, длина пути между которыми 20 км, одновременно вышли 2 пешехода. Скорость одного из них была на 1 км/ч больше скорости другого, поэтому он затратил на весь путь на 60 минут меньше. Какова скорость каждого пешехода?

2) Из города А в город В выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста на 10 км/ч меньше скорости мотоциклиста, поэтому он затратил на весь путь на 6 часов больше. С какой скоростью ехал мотоциклист, если длина пути между городами равна 120 км?

1)

Пусть $v$ км/ч — скорость медленного пешехода. Тогда скорость быстрого пешехода равна $(v+1)$ км/ч.
Расстояние между городами А и В равно $S = 20$ км.
Время, которое затратил на путь медленный пешеход, равно $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{20}{v}$ часов.
Время, которое затратил на путь быстрый пешеход, равно $t_2 = \frac{S}{v+1} = \frac{20}{v+1}$ часов.
По условию, быстрый пешеход затратил на 60 минут (то есть на 1 час) меньше времени. Составим уравнение:

$t_1 - t_2 = 1$

$\frac{20}{v} - \frac{20}{v+1} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $v(v+1)$:

$\frac{20(v+1) - 20v}{v(v+1)} = 1$

Так как скорость не может быть равна нулю, $v \neq 0$ и $v+1 \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $v(v+1)$:

$20(v+1) - 20v = v(v+1)$

$20v + 20 - 20v = v^2 + v$

$20 = v^2 + v$

Перенесем все в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$v^2 + v - 20 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = -5$

$v_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = 4$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_1 = -5$ не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, скорость медленного пешехода равна 4 км/ч.
Тогда скорость быстрого пешехода равна $v+1 = 4+1 = 5$ км/ч.

Ответ: скорость одного пешехода 4 км/ч, скорость другого — 5 км/ч.

2)

Пусть $v$ км/ч — скорость мотоциклиста. Тогда скорость велосипедиста равна $(v-10)$ км/ч.
Расстояние между городами А и В равно $S = 120$ км.
Время, которое затратил на путь мотоциклист, равно $t_м = \frac{S}{v} = \frac{120}{v}$ часов.
Время, которое затратил на путь велосипедист, равно $t_в = \frac{S}{v-10} = \frac{120}{v-10}$ часов.
По условию, велосипедист затратил на 6 часов больше времени. Составим уравнение:

$t_в - t_м = 6$

$\frac{120}{v-10} - \frac{120}{v} = 6$

Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения:

$\frac{20}{v-10} - \frac{20}{v} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $v(v-10)$:

$\frac{20v - 20(v-10)}{v(v-10)} = 1$

Так как скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста, то $v > 10$, а значит $v \neq 0$ и $v-10 \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $v(v-10)$:

$20v - 20(v-10) = v(v-10)$

$20v - 20v + 200 = v^2 - 10v$

$200 = v^2 - 10v$

Перенесем все в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$v^2 - 10v - 200 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{10 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 30}{2} = -10$

$v_2 = \frac{10 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 30}{2} = 20$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_1 = -10$ не подходит по смыслу задачи.
Следовательно, скорость мотоциклиста равна 20 км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста 20 км/ч.

12.2. 1) Товарный поезд был задержан в пути на 18 минут, затем на перегоне в 60 км он наверстал это время, увеличив скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

2) Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на 20 минут больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

1)

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость товарного поезда. Тогда $v + 10$ км/ч — новая скорость поезда на перегоне в 60 км. Поезд был задержан на 18 минут, что составляет $\frac{18}{60} = \frac{3}{10}$ часа. Это время он наверстал на перегоне длиной 60 км.

Время, которое поезд должен был затратить на этот перегон по расписанию, составляет $\frac{60}{v}$ часов. Фактическое время, затраченное на перегон с увеличенной скоростью, составляет $\frac{60}{v + 10}$ часов.

Разница между плановым и фактическим временем равна времени задержки. Составим уравнение:

$\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 10} = \frac{3}{10}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{60(v + 10) - 60v}{v(v + 10)} = \frac{3}{10}$

$\frac{60v + 600 - 60v}{v^2 + 10v} = \frac{3}{10}$

$\frac{600}{v^2 + 10v} = \frac{3}{10}$

Используем свойство пропорции:

$3(v^2 + 10v) = 600 \cdot 10$

$3(v^2 + 10v) = 6000$

Разделим обе части на 3:

$v^2 + 10v = 2000$

$v^2 + 10v - 2000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100$

$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-10 + 90}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$

$v_2 = \frac{-10 - 90}{2 \cdot 1} = \frac{-100}{2} = -50$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому второй корень не подходит. Следовательно, первоначальная скорость поезда была 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

2)

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость мотоциклиста. Тогда $v - 10$ км/ч — скорость мотоциклиста на обратном пути. Расстояние от пункта А до пункта В равно 40 км. На обратный путь мотоциклист затратил на 20 минут больше, что составляет $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.

Время, затраченное на путь из А в В, составляет $\frac{40}{v}$ часов. Время, затраченное на обратный путь, составляет $\frac{40}{v - 10}$ часов. Так как скорость на обратном пути меньше, время, затраченное на него, больше.

Составим уравнение, исходя из разницы во времени:

$\frac{40}{v - 10} - \frac{40}{v} = \frac{1}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{40v - 40(v - 10)}{v(v - 10)} = \frac{1}{3}$

$\frac{40v - 40v + 400}{v^2 - 10v} = \frac{1}{3}$

$\frac{400}{v^2 - 10v} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции:

$v^2 - 10v = 400 \cdot 3$

$v^2 - 10v = 1200$

$v^2 - 10v - 1200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900$

$\sqrt{D} = \sqrt{4900} = 70$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{10 + 70}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$

$v_2 = \frac{10 - 70}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому второй корень не подходит. Кроме того, по условию $v > 10$, что выполняется для $v_1 = 40$. Следовательно, первоначальная скорость мотоциклиста была 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

12.3.

1) Теплоход прошел 4 км против течения реки, затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 час. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

2) Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Найдите скорость течения реки, если известно, что она не превосходит 5 км/ч, а скорость моторной лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

1)

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде). Нам нужно найти $x$.

Скорость течения реки по условию равна 6,5 км/ч.
Тогда скорость теплохода по течению реки составляет $(x + 6,5)$ км/ч.
Скорость теплохода против течения реки составляет $(x - 6,5)$ км/ч.
Для движения против течения скорость теплохода должна быть больше скорости течения, то есть $x > 6,5$.

Теплоход прошел 4 км против течения, затратив на это время $t_1 = \frac{4}{x - 6,5}$ часа.
Затем он прошел 33 км по течению, затратив на это время $t_2 = \frac{33}{x + 6,5}$ часа.

Общее время в пути составило 1 час, следовательно, мы можем составить уравнение:
$t_1 + t_2 = 1$
$\frac{4}{x - 6,5} + \frac{33}{x + 6,5} = 1$

Решим это уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $(x - 6,5)(x + 6,5)$, который не равен нулю при $x > 6,5$.
$4(x + 6,5) + 33(x - 6,5) = (x - 6,5)(x + 6,5)$
$4x + 26 + 33x - 214,5 = x^2 - (6,5)^2$
$37x - 188,5 = x^2 - 42,25$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 37x - 42,25 + 188,5 = 0$
$x^2 - 37x + 146,25 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
$4x^2 - 148x + 585 = 0$

Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-148)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 585 = 21904 - 9360 = 12544$
$\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{148 + 112}{2 \cdot 4} = \frac{260}{8} = 32,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{148 - 112}{2 \cdot 4} = \frac{36}{8} = 4,5$

Проверим корни на соответствие условию $x > 6,5$.
Корень $x_1 = 32,5$ удовлетворяет условию, так как $32,5 > 6,5$.
Корень $x_2 = 4,5$ не удовлетворяет условию, так как $4,5 < 6,5$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, скорость теплохода в стоячей воде равна 32,5 км/ч.
Ответ: 32,5 км/ч.

2)

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Нам нужно найти $x$.

Собственная скорость моторной лодки по условию равна 12 км/ч.
По условию, скорость течения не превосходит 5 км/ч, то есть $0 < x \le 5$. Также для движения против течения должно выполняться условие $x < 12$.

Скорость лодки по течению реки составляет $(12 + x)$ км/ч.
Скорость лодки против течения реки составляет $(12 - x)$ км/ч.

Лодка прошла 25 км по течению, затратив на это время $t_1 = \frac{25}{12 + x}$ часа.
Затем она прошла 3 км против течения, затратив на это время $t_2 = \frac{3}{12 - x}$ часа.

Общее время в пути составило 2 часа, следовательно, мы можем составить уравнение:
$t_1 + t_2 = 2$
$\frac{25}{12 + x} + \frac{3}{12 - x} = 2$

Решим это уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $(12 + x)(12 - x)$, который не равен нулю при $0 < x \le 5$.
$25(12 - x) + 3(12 + x) = 2(12 + x)(12 - x)$
$300 - 25x + 36 + 3x = 2(144 - x^2)$
$336 - 22x = 288 - 2x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - 22x + 336 - 288 = 0$
$2x^2 - 22x + 48 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 11x + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 24. Корни: 3 и 8.
Либо через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25$
$\sqrt{D} = 5$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Проверим корни на соответствие условию $0 < x \le 5$.
Корень $x_1 = 8$ не удовлетворяет условию, так как $8 > 5$.
Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию, так как $0 < 3 \le 5$.

Следовательно, скорость течения реки равна 3 км/ч.
Ответ: 3 км/ч.

12.4.

1) Теплоход прошел по течению реки $48 \text{ км}$ и столько же обратно, затратив на весь путь $5 \text{ ч}$. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна $4 \text{ км/ч}$.

2) Глиссер, собственная скорость которого равна $20 \text{ км/ч}$, прошел по реке $60 \text{ км}$ и вернулся обратно. Найдите скорость течения реки, если на весь путь глиссер затратил $6,25 \text{ ч}$.

1)

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость теплохода. Тогда скорость теплохода по течению реки равна $(x + 4)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 4)$ км/ч. Заметим, что для движения против течения собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 4$.

Время, затраченное на путь по течению на расстояние 48 км, составляет $t_1 = \frac{48}{x+4}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь против течения на то же расстояние, составляет $t_2 = \frac{48}{x-4}$ часов.

Общее время в пути равно 5 часам, поэтому можем составить уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$t_1 + t_2 = 5$

$\frac{48}{x+4} + \frac{48}{x-4} = 5$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+4)(x-4) = x^2 - 16$:

$\frac{48(x-4) + 48(x+4)}{x^2 - 16} = 5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{48x - 192 + 48x + 192}{x^2 - 16} = 5$

$\frac{96x}{x^2 - 16} = 5$

Умножим обе части уравнения на $(x^2 - 16)$, при условии что $x^2 - 16 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 4$. Условие $x > 4$ это гарантирует.

$96x = 5(x^2 - 16)$

$96x = 5x^2 - 80$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5x^2 - 96x - 80 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-96)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-80) = 9216 + 1600 = 10816$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{10816} = 104$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{96 + 104}{2 \cdot 5} = \frac{200}{10} = 20$

$x_2 = \frac{96 - 104}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -0.8$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -0.8$ не подходит по физическому смыслу. Корень $x_1 = 20$ удовлетворяет условию $x > 4$.

Следовательно, собственная скорость теплохода равна 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч.

2)

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Собственная скорость глиссера известна и равна 20 км/ч.

Тогда скорость глиссера по течению реки равна $(20 + x)$ км/ч, а скорость против течения — $(20 - x)$ км/ч. Для того чтобы глиссер мог вернуться обратно, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $0 < x < 20$.

Время, затраченное на путь по течению на расстояние 60 км, составляет $t_1 = \frac{60}{20+x}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь против течения, составляет $t_2 = \frac{60}{20-x}$ часов.

Общее время в пути равно 6,25 часа. Составим уравнение:

$\frac{60}{20+x} + \frac{60}{20-x} = 6.25$

Представим десятичную дробь 6,25 в виде обыкновенной дроби для удобства вычислений: $6.25 = 6 \frac{25}{100} = 6 \frac{1}{4} = \frac{25}{4}$.

$\frac{60(20-x) + 60(20+x)}{(20+x)(20-x)} = \frac{25}{4}$

Упростим числитель и знаменатель левой части:

$\frac{1200 - 60x + 1200 + 60x}{400 - x^2} = \frac{25}{4}$

$\frac{2400}{400 - x^2} = \frac{25}{4}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2400 \cdot 4 = 25 \cdot (400 - x^2)$

$9600 = 10000 - 25x^2$

Перенесем члены уравнения, чтобы выразить $x^2$:

$25x^2 = 10000 - 9600$

$25x^2 = 400$

$x^2 = \frac{400}{25}$

$x^2 = 16$

Из этого следует, что $x = \sqrt{16} = 4$ или $x = -\sqrt{16} = -4$.

Так как скорость течения реки не может быть отрицательной величиной, корень $x = -4$ не подходит. Корень $x=4$ удовлетворяет условию $0 < x < 20$.

Следовательно, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

12.5. 1) Пешеход должен был пройти 12 км за некоторое время, но он был задержан с выходом на 1 час, поэтому ему пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?

2) Велосипедист проехал 10 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 5 км/ч. На весь путь в оба конца было затрачено 1 час 10 минут. Найдите скорость, с которой велосипедист ехал от турбазы до города.

1)

Пусть $v$ км/ч — планируемая скорость пешехода, а $t$ ч — планируемое время. По условию, расстояние $S$ равно 12 км. Тогда справедливо равенство $S = v \cdot t$, то есть $12 = v \cdot t$.

Фактически пешеход шёл со скоростью $(v+1)$ км/ч, а время, затраченное на путь, составило $(t-1)$ ч, так как он вышел на час позже, но пришёл вовремя. Для фактического движения справедливо равенство $S = (v+1)(t-1)$, то есть $12 = (v+1)(t-1)$.

В задаче требуется найти фактическую скорость, то есть $v+1$. Обозначим эту скорость за $x$. Тогда $x = v+1$, а $v = x-1$.

Выразим время через расстояние и скорость:

Планируемое время: $t_{план} = \frac{12}{v} = \frac{12}{x-1}$ ч.

Фактическое время: $t_{факт} = \frac{12}{x}$ ч.

Разница между планируемым и фактическим временем составляет 1 час:

$t_{план} - t_{факт} = 1$

Составим и решим уравнение:

$\frac{12}{x-1} - \frac{12}{x} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-1)$:

$\frac{12x - 12(x-1)}{x(x-1)} = 1$

$\frac{12x - 12x + 12}{x^2 - x} = 1$

$\frac{12}{x^2 - x} = 1$

При условии $x^2 - x \neq 0$, получаем:

$x^2 - x = 12$

$x^2 - x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Корнями являются числа 4 и -3.

$x_1 = 4$, $x_2 = -3$.

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, фактическая скорость пешехода равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

2)

Пусть $x$ км/ч — скорость, с которой велосипедист ехал от турбазы до города. Это искомая величина.

Согласно условию, на пути от города до турбазы его скорость была на 5 км/ч больше, то есть составляла $(x+5)$ км/ч.

Расстояние в одну сторону равно 10 км.

Время, затраченное на путь от города до турбазы: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{10}{x+5}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь от турбазы до города: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{10}{x}$ ч.

Общее время на весь путь составляет 1 час 10 минут. Переведем это время в часы:

$1 \text{ час } 10 \text{ минут} = 1 + \frac{10}{60} \text{ часа} = 1 + \frac{1}{6} \text{ часа} = \frac{7}{6}$ часа.

Сумма времени $t_1$ и $t_2$ равна общему времени в пути. Составим уравнение:

$\frac{10}{x+5} + \frac{10}{x} = \frac{7}{6}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{10x + 10(x+5)}{x(x+5)} = \frac{7}{6}$

$\frac{10x + 10x + 50}{x^2 + 5x} = \frac{7}{6}$

$\frac{20x + 50}{x^2 + 5x} = \frac{7}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$6(20x + 50) = 7(x^2 + 5x)$

$120x + 300 = 7x^2 + 35x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$7x^2 + 35x - 120x - 300 = 0$

$7x^2 - 85x - 300 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-85)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-300) = 7225 + 8400 = 15625$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{15625} = 125$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{85 + 125}{2 \cdot 7} = \frac{210}{14} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{85 - 125}{2 \cdot 7} = \frac{-40}{14} = -\frac{20}{7}$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2$ не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, скорость велосипедиста на пути от турбазы до города равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.