Страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.27. При каких значениях параметра $b$ корни уравнения $4x^2 - (3b^2 - 5|b| + 2)x - 3 = 0$ равны по модулю?

Заданное уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2+Bx+c=0$, где коэффициенты равны:
$a = 4$
$B = -(3b^2 - 5|b| + 2)$
$c = -3$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. По условию, корни равны по модулю, то есть $|x_1| = |x_2|$. Это возможно в двух случаях:
1) Корни равны: $x_1 = x_2$.
2) Корни являются противоположными числами: $x_1 = -x_2$ (при условии, что $x_1 \neq 0$).

Для анализа этих случаев воспользуемся теоремой Виета. Произведение корней равно $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$. В нашем уравнении: $x_1 x_2 = \frac{-3}{4}$.

Поскольку произведение корней $x_1 x_2 = -3/4$ является отрицательным числом, корни должны иметь разные знаки. Это означает, что один корень положителен, а другой отрицателен. Следовательно, случай $x_1 = x_2$ невозможен (он бы требовал, чтобы $x_1=x_2=0$, но $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке $x=0$ получаем $-3=0$, что неверно).

Таким образом, остается только второй случай: корни являются противоположными числами, $x_1 = -x_2$. Из этого условия следует, что их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{B}{a}$. Подставим наши коэффициенты: $x_1 + x_2 = -\frac{-(3b^2 - 5|b| + 2)}{4} = \frac{3b^2 - 5|b| + 2}{4}$.

Приравниваем сумму корней к нулю: $\frac{3b^2 - 5|b| + 2}{4} = 0$ $3b^2 - 5|b| + 2 = 0$

Это уравнение содержит модуль. Так как $b^2 = |b|^2$, мы можем сделать замену переменной. Пусть $t = |b|$. Поскольку модуль числа не может быть отрицательным, $t \ge 0$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $3t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D_t = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$. $t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.
$t_1 = \frac{5+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$t_2 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба найденных значения для $t$ неотрицательны, поэтому они являются допустимыми.

Теперь вернемся к переменной $b$.
1) Если $t = 1$, то $|b| = 1$. Отсюда получаем два значения: $b = 1$ и $b = -1$.
2) Если $t = 2/3$, то $|b| = 2/3$. Отсюда получаем еще два значения: $b = 2/3$ и $b = -2/3$.

Нам также необходимо убедиться, что при этих значениях параметра $b$ исходное квадратное уравнение имеет действительные корни. Для этого его дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$). $D_x = B^2 - 4ac = (-(3b^2 - 5|b| + 2))^2 - 4(4)(-3) = (3b^2 - 5|b| + 2)^2 + 48$. Мы нашли значения $b$, для которых выражение в скобках равно нулю: $3b^2 - 5|b| + 2 = 0$. При этих значениях $b$ дискриминант равен: $D_x = (0)^2 + 48 = 48$. Поскольку $D_x = 48 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при всех найденных значениях $b$.

Следовательно, все четыре найденных значения параметра $b$ удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $b \in \{-1, -2/3, 2/3, 1\}$.

11.28. 1) Найдите наименьшее целое значение $a$, при котором уравнение $x^2 - 2(a + 2)x + 12 + a^2 = 0$ имеет два различных действительных корня.

2) При каком значении $a$ квадратное уравнение $ax^2 - (a + 1)x + 2a - 1 = 0$ имеет один корень?

1) Данное уравнение $x^2 - 2(a + 2)x + 12 + a^2 = 0$ является квадратным уравнением вида $Ax^2+Bx+C=0$. Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго больше нуля. Вычислим дискриминант, где коэффициенты $A=1$, $B=-2(a+2)$, $C=12+a^2$. $D = B^2 - 4AC = (-2(a+2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12+a^2) = 4(a+2)^2 - 4(12+a^2)$. Раскроем скобки: $D = 4(a^2 + 4a + 4) - 48 - 4a^2 = 4a^2 + 16a + 16 - 48 - 4a^2 = 16a - 32$. Условие наличия двух различных действительных корней — это $D > 0$. $16a - 32 > 0$ $16a > 32$ $a > 2$ Требуется найти наименьшее целое значение $a$, которое удовлетворяет полученному неравенству. Наименьшим целым числом, которое больше 2, является 3. Ответ: 3

2) Рассмотрим уравнение $ax^2 - (a + 1)x + 2a - 1 = 0$. Это уравнение имеет ровно один корень в двух случаях:
1. Если уравнение является линейным, то есть старший коэффициент при $x^2$ равен нулю.
2. Если уравнение является квадратным, но его дискриминант равен нулю.
Рассмотрим первый случай. При $a=0$ уравнение превращается в линейное: $0 \cdot x^2 - (0 + 1)x + 2 \cdot 0 - 1 = 0$ $-x - 1 = 0$ $x = -1$ Уравнение имеет один корень, следовательно, $a=0$ является одним из искомых значений.
Рассмотрим второй случай. Если $a \neq 0$, уравнение является квадратным. Оно будет иметь один корень, если его дискриминант $D$ равен нулю. Вычислим дискриминант $D = B^2 - 4AC$, где коэффициенты $A=a$, $B=-(a+1)$, $C=2a-1$. $D = (-(a+1))^2 - 4 \cdot a \cdot (2a-1) = (a+1)^2 - 4a(2a-1)$. $D = (a^2 + 2a + 1) - (8a^2 - 4a) = a^2 + 2a + 1 - 8a^2 + 4a = -7a^2 + 6a + 1$. Приравняем дискриминант к нулю: $-7a^2 + 6a + 1 = 0$ Умножим уравнение на -1: $7a^2 - 6a - 1 = 0$ Решим это квадратное уравнение относительно $a$. Дискриминант для этого уравнения $D_a = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$. $a_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$. $a_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$. Оба значения, $a=1$ и $a=-\frac{1}{7}$, не равны нулю, поэтому они являются решениями.
Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, находим все значения $a$. Ответ: $a \in \{-\frac{1}{7}; 0; 1\}$.

11.29. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 2x)^2 - (x - 1)^2 = 1;$

2) $(x^2 - 6x)^2 - 2(x - 3)^2 = 81;$

3) $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = -2,5;$

4) $(x^2 + 2x)^2 - (x + 1)^2 = 55.$

1) Исходное уравнение: $(x^2 - 2x)^2 - (x - 1)^2 = 1$.
Заметим, что $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 2x$.
Тогда $(x - 1)^2 = t + 1$.
Подставим в исходное уравнение:
$t^2 - (t + 1) = 1$
$t^2 - t - 1 - 1 = 0$
$t^2 - t - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -2$
Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $t = 2$
$x^2 - 2x = 2$
$x^2 - 2x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$
Получаем два корня: $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{3}$.
Случай 2: $t = -1$
$x^2 - 2x = -1$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
$x - 1 = 0$
$x_3 = 1$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $1 - \sqrt{3}; 1; 1 + \sqrt{3}$.

2) Исходное уравнение: $(x^2 - 6x)^2 - 2(x - 3)^2 = 81$.
Заметим, что $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 6x$.
Тогда $(x - 3)^2 = t + 9$.
Подставим в исходное уравнение:
$t^2 - 2(t + 9) = 81$
$t^2 - 2t - 18 = 81$
$t^2 - 2t - 99 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 2$
$t_1 \cdot t_2 = -99$
Корни: $t_1 = 11$, $t_2 = -9$.
Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $t = 11$
$x^2 - 6x = 11$
$x^2 - 6x - 11 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 36 + 44 = 80$
$x = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}$
Получаем два корня: $x_1 = 3 + 2\sqrt{5}$ и $x_2 = 3 - 2\sqrt{5}$.
Случай 2: $t = -9$
$x^2 - 6x = -9$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x - 3)^2 = 0$
$x - 3 = 0$
$x_3 = 3$.
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $3 - 2\sqrt{5}; 3; 3 + 2\sqrt{5}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{x}{x^2 + 1} = -2,5$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ (так как $x^2+1$ всегда больше 0 для действительных $x$).
Заметим, что дроби в левой части уравнения являются взаимно обратными.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x^2 + 1}{x}$.
Тогда $\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{1}{y}$.
Подставим в исходное уравнение:
$y + \frac{1}{y} = -2,5$
Приведем к общему знаменателю $y$ (при $y \neq 0$):
$y^2 + 1 = -2,5y$
$y^2 + 2,5y + 1 = 0$
Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$2y^2 + 5y + 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$y = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$
Корни: $y_1 = \frac{-5-3}{4} = -2$, $y_2 = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $y = -2$
$\frac{x^2 + 1}{x} = -2$
$x^2 + 1 = -2x$
$x^2 + 2x + 1 = 0$
$(x + 1)^2 = 0$
$x + 1 = 0$
$x = -1$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Случай 2: $y = -1/2$
$\frac{x^2 + 1}{x} = -\frac{1}{2}$
$2(x^2 + 1) = -x$
$2x^2 + x + 2 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Следовательно, у исходного уравнения один корень.
Ответ: $-1$.

4) Исходное уравнение: $(x^2 + 2x)^2 - (x + 1)^2 = 55$.
Заметим, что $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 2x$.
Тогда $(x + 1)^2 = t + 1$.
Подставим в исходное уравнение:
$t^2 - (t + 1) = 55$
$t^2 - t - 1 - 55 = 0$
$t^2 - t - 56 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -56$
Корни: $t_1 = 8$, $t_2 = -7$.
Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $t = 8$
$x^2 + 2x = 8$
$x^2 + 2x - 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -8$
Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -4$.
Случай 2: $t = -7$
$x^2 + 2x = -7$
$x^2 + 2x + 7 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $-4; 2$.

11.30. Найдите наибольший корень уравнения

$\frac{24}{x^2 + 2x - 8} - \frac{15}{x^2 + 2x - 3} = 2.$

Исходное уравнение:

$$ \frac{24}{x^2 + 2x - 8} - \frac{15}{x^2 + 2x - 3} = 2 $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

1. $x^2 + 2x - 8 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -8$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -4$.

2. $x^2 + 2x - 3 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq -4$, $x \neq -3$, $x \neq 1$, $x \neq 2$.

Заметим, что в обоих знаменателях присутствует выражение $x^2 + 2x$. Введем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть $t = x^2 + 2x$. Тогда уравнение примет вид:

$$ \frac{24}{t - 8} - \frac{15}{t - 3} = 2 $$

При этом, из ОДЗ следует, что $t \neq 8$ и $t \neq 3$.

Решим это уравнение относительно $t$. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{24(t - 3) - 15(t - 8)}{(t - 8)(t - 3)} = 2 $$

$$ \frac{24t - 72 - 15t + 120}{t^2 - 3t - 8t + 24} = 2 $$

$$ \frac{9t + 48}{t^2 - 11t + 24} = 2 $$

Умножим обе части на знаменатель, так как мы уже учли, что он не равен нулю:

$$ 9t + 48 = 2(t^2 - 11t + 24) $$

$$ 9t + 48 = 2t^2 - 22t + 48 $$

Перенесем все члены в правую часть:

$$ 2t^2 - 22t - 9t + 48 - 48 = 0 $$

$$ 2t^2 - 31t = 0 $$

Вынесем $t$ за скобки:

$$ t(2t - 31) = 0 $$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = 0$ или $2t_2 - 31 = 0 \Rightarrow t_2 = \frac{31}{2} = 15.5$.

Оба значения $t$ удовлетворяют условиям $t \neq 8$ и $t \neq 3$.

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 0$.

$$ x^2 + 2x = 0 $$

$$ x(x + 2) = 0 $$

Получаем корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$. Оба корня принадлежат ОДЗ.

Случай 2: $t = 15.5$.

$$ x^2 + 2x = 15.5 $$

$$ x^2 + 2x - 15.5 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15.5) = 4 + 62 = 66 $$

Найдем корни:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{66}}{2} $$

Получаем еще два корня: $x_3 = \frac{-2 + \sqrt{66}}{2}$ и $x_4 = \frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$. Эти корни являются иррациональными и не совпадают ни с одним из исключенных значений, поэтому они принадлежат ОДЗ.

Мы получили четыре корня: $0$, $-2$, $\frac{-2 + \sqrt{66}}{2}$, $\frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$.

Найдем наибольший из них. Сравним полученные корни.

Корни $x_2 = -2$ и $x_4 = \frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$ являются отрицательными.

Корень $x_1 = 0$.

Сравним $x_1 = 0$ и $x_3 = \frac{-2 + \sqrt{66}}{2}$.

Так как $8^2=64$ и $9^2=81$, то $8 < \sqrt{66} < 9$.

Следовательно, $-2 + \sqrt{66} > -2 + 8 = 6$, что является положительным числом. Значит, $\frac{-2 + \sqrt{66}}{2} > 0$.

Таким образом, наибольший корень уравнения это $\frac{-2 + \sqrt{66}}{2}$.

Ответ: $\frac{-2 + \sqrt{66}}{2}$

11.31. Решите уравнение:

1) $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0;$

2) $2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0.$

1) $x^4 - 2x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$

Это симметричное (возвратное) уравнение четвертой степени. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке $x=0$ получаем $1=0$, что неверно. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2 \neq 0$.

$\frac{x^4}{x^2} - \frac{2x^3}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0$

$x^2 - 2x - 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$.

Тогда $t^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим это в уравнение:

$(t^2 - 2) - 2t - 1 = 0$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 3$

$x + \frac{1}{x} = 3$

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = 3x$

$x^2 - 3x + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Случай 2: $t = -1$

$x + \frac{1}{x} = -1$

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = -x$

$x^2 + x + 1 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

2) $2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0$

Это также симметричное уравнение. Проверим, является ли $x=0$ корнем: $2 \cdot 0^4 + 3 \cdot 0^3 - 0^2 + 3 \cdot 0 + 2 = 2 \neq 0$. Значит, $x=0$ не является корнем, и мы можем разделить уравнение на $x^2$.

$\frac{2x^4}{x^2} + \frac{3x^3}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} + \frac{3x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = 0$

$2x^2 + 3x - 1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 3(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

Применим ту же замену: $t = x + \frac{1}{x}$, из которой следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$2(t^2 - 2) + 3t - 1 = 0$

$2t^2 - 4 + 3t - 1 = 0$

$2t^2 + 3t - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $t$. Найдем дискриминант:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$

$t_1 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 1$

$x + \frac{1}{x} = 1$

$x^2 - x + 1 = 0$

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $t = -\frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$

Умножим на $2x$:

$2x^2 + 2 = -5x$

$2x^2 + 5x + 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; -\frac{1}{2}$.

Найдите корни уравнений (11.32—11.35):

11.32. 1) $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x + 2)^2} = \frac{10}{9};$

2) $\frac{u^2}{2 - u^2} + \frac{u}{2 - u} = 2.$

1) $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+2)^2} = \frac{10}{9}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x^2 \neq 0$ и $(x+2)^2 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Преобразуем левую часть уравнения. Выделим полный квадрат разности. Для этого воспользуемся формулой $a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab$. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{x+2}$.

$a-b = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} = \frac{x+2-x}{x(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)}$

$ab = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x(x+2)}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(\frac{2}{x(x+2)})^2 + 2 \cdot \frac{1}{x(x+2)} = \frac{10}{9}$

$\frac{4}{(x(x+2))^2} + \frac{2}{x(x+2)} = \frac{10}{9}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{x^2+2x}$. Уравнение примет вид:

$4y^2 + 2y = \frac{10}{9}$

Умножим обе части на 9, чтобы избавиться от знаменателя:

$36y^2 + 18y = 10$

$36y^2 + 18y - 10 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$18y^2 + 9y - 5 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = 9^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-5) = 81 + 360 = 441 = 21^2$

$y_1 = \frac{-9 - 21}{2 \cdot 18} = \frac{-30}{36} = -\frac{5}{6}$

$y_2 = \frac{-9 + 21}{2 \cdot 18} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $y = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{x^2+2x} = \frac{1}{3}$

$x^2+2x = 3$

$x^2+2x-3 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = -\frac{5}{6}$

$\frac{1}{x^2+2x} = -\frac{5}{6}$

$-5(x^2+2x) = 6$

$-5x^2 - 10x - 6 = 0$

$5x^2+10x+6 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = 10^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 100 - 120 = -20$

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = -3; 1$.

2) $\frac{u^2}{2 - u^2} + \frac{u}{2 - u} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $2-u^2 \neq 0 \implies u \neq \pm\sqrt{2}$ и $2-u \neq 0 \implies u \neq 2$.

Приведем уравнение к общему знаменателю $(2-u^2)(2-u)$:

$\frac{u^2(2-u) + u(2-u^2)}{(2-u^2)(2-u)} = 2$

При условии, что $u$ входит в ОДЗ, можем умножить обе части на знаменатель:

$u^2(2-u) + u(2-u^2) = 2(2-u^2)(2-u)$

Раскроем скобки:

$2u^2 - u^3 + 2u - u^3 = 2(4 - 2u - 2u^2 + u^3)$

$2u^2 - 2u^3 + 2u = 8 - 4u - 4u^2 + 2u^3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить полиномиальное уравнение:

$2u^3 + 2u^3 - 4u^2 - 2u^2 - 4u - 2u + 8 = 0$

$4u^3 - 6u^2 - 6u + 8 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$2u^3 - 3u^2 - 3u + 4 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти рациональные корни среди делителей свободного члена 4, то есть среди чисел $\pm1, \pm2, \pm4$.

Проверим $u=1$: $2(1)^3 - 3(1)^2 - 3(1) + 4 = 2 - 3 - 3 + 4 = 0$. Значит, $u=1$ является корнем.

Разделим многочлен $2u^3 - 3u^2 - 3u + 4$ на двучлен $(u-1)$ (например, столбиком или по схеме Горнера), чтобы найти остальные корни. В результате деления получаем квадратный трехчлен $2u^2 - u - 4$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(u-1)(2u^2 - u - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $u-1=0 \implies u_1 = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2) $2u^2 - u - 4 = 0$. Решим это квадратное уравнение.

Найдем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 1 + 32 = 33$

Корни уравнения:

$u_{2,3} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$

Корни $u_2 = \frac{1+\sqrt{33}}{4}$ и $u_3 = \frac{1-\sqrt{33}}{4}$ не равны $\pm\sqrt{2}$ или $2$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}$.

11.33.

1)

$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x + 2} + \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 3} = \frac{7}{6};$

2)

$\frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)}{(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)} = 1.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2+2x+1}{x^2+2x+2} + \frac{x^2+2x+2}{x^2+2x+3} = \frac{7}{6} $

Заметим, что выражение $x^2+2x$ повторяется в числителях и знаменателях. Сделаем замену, чтобы упростить уравнение.Пусть $y = x^2+2x$. Тогда уравнение примет вид:

$ \frac{y+1}{y+2} + \frac{y+2}{y+3} = \frac{7}{6} $

Область допустимых значений для переменной $y$: $y+2 \neq 0$ и $y+3 \neq 0$, то есть $y \neq -2$ и $y \neq -3$.Проверим, возможны ли такие значения $y$ для действительных $x$.$x^2+2x = -2 \implies x^2+2x+2=0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4-8 = -4 < 0$. Корней нет.$x^2+2x = -3 \implies x^2+2x+3=0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4-12 = -8 < 0$. Корней нет.Таким образом, знаменатели исходного уравнения никогда не обращаются в ноль, и ограничения на $x$ отсутствуют.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$ \frac{(y+1)(y+3) + (y+2)(y+2)}{(y+2)(y+3)} = \frac{7}{6} $

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

$ \frac{(y^2+3y+y+3) + (y^2+4y+4)}{y^2+3y+2y+6} = \frac{7}{6} $

$ \frac{y^2+4y+3 + y^2+4y+4}{y^2+5y+6} = \frac{7}{6} $

$ \frac{2y^2+8y+7}{y^2+5y+6} = \frac{7}{6} $

Умножим обе части уравнения по свойству пропорции:

$ 6(2y^2+8y+7) = 7(y^2+5y+6) $

$ 12y^2+48y+42 = 7y^2+35y+42 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 12y^2 - 7y^2 + 48y - 35y + 42 - 42 = 0 $

$ 5y^2 + 13y = 0 $

Вынесем $y$ за скобки:

$ y(5y + 13) = 0 $

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$ y_1 = 0 $ или $ 5y_2 + 13 = 0 \implies y_2 = -\frac{13}{5} $

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = 0$

$ x^2+2x = 0 $

$ x(x+2) = 0 $

$ x_1 = 0, x_2 = -2 $

Случай 2: $y_2 = -\frac{13}{5}$

$ x^2+2x = -\frac{13}{5} $

$ x^2+2x + \frac{13}{5} = 0 $

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от дроби:

$ 5x^2+10x+13=0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$ D = 10^2 - 4 \cdot 5 \cdot 13 = 100 - 260 = -160 $

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только $x=0$ и $x=-2$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -2$.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = 1 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому:

$ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 $

$ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 $

$ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3 $

$ x+4 \neq 0 \implies x \neq -4 $

Умножим обе части уравнения на знаменатель (при условии, что $x$ входит в ОДЗ):

$ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) $

Раскрывать все скобки напрямую долго. Сгруппируем множители так, чтобы получить одинаковые выражения. В числителе сгруппируем $(x-1)$ с $(x-4)$ и $(x-2)$ с $(x-3)$. В знаменателе сгруппируем $(x+1)$ с $(x+4)$ и $(x+2)$ с $(x+3)$.

$ [(x-1)(x-4)] \cdot [(x-2)(x-3)] = [(x+1)(x+4)] \cdot [(x+2)(x+3)] $

Раскроем скобки в каждой группе:

$ (x^2 - 4x - x + 4)(x^2 - 3x - 2x + 6) = (x^2 + 4x + x + 4)(x^2 + 3x + 2x + 6) $

$ (x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) $

Сделаем замену переменных. Пусть $a = x^2 - 5x$ и $b = x^2 + 5x$. Уравнение примет вид:

$ (a+4)(a+6) = (b+4)(b+6) $

Раскроем скобки:

$ a^2 + 6a + 4a + 24 = b^2 + 6b + 4b + 24 $

$ a^2 + 10a + 24 = b^2 + 10b + 24 $

$ a^2 + 10a = b^2 + 10b $

Перенесем все в левую часть:

$ a^2 - b^2 + 10a - 10b = 0 $

Разложим на множители:

$ (a-b)(a+b) + 10(a-b) = 0 $

$ (a-b)(a+b+10) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: $a-b = 0 \implies a = b$

Выполним обратную замену:

$ x^2 - 5x = x^2 + 5x $

$ -5x = 5x $

$ 10x = 0 $

$ x = 0 $

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $a+b+10 = 0$

Выполним обратную замену:

$ (x^2 - 5x) + (x^2 + 5x) + 10 = 0 $

$ 2x^2 + 10 = 0 $

$ 2x^2 = -10 $

$ x^2 = -5 $

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Единственным решением является $x=0$.

Ответ: $x=0$.

11.34. 1) $\frac{6}{(x+1)(x+2)} + \frac{6}{(x-1)(x+4)} = 1;$

2) $\frac{x}{x^2 - x + 1} + \frac{3x}{x^2 + x + 1} = 2.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{6}{(x+1)(x+2)} + \frac{6}{(x-1)(x+4)} = 1 $.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -1$, $x \neq -2$, $x \neq 1$, $x \neq -4$.
Раскроем скобки в знаменателях:
$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$
$(x-1)(x+4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4$
Заметим, что оба знаменателя содержат выражение $x^2+3x$.
Уравнение можно переписать в виде:
$ \frac{6}{x^2+3x+2} + \frac{6}{x^2+3x-4} = 1 $
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2+3x$. Тогда уравнение примет вид:
$ \frac{6}{y+2} + \frac{6}{y-4} = 1 $
ОДЗ для новой переменной: $y \neq -2$ и $y \neq 4$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(y+2)(y-4)$:
$ 6(y-4) + 6(y+2) = (y+2)(y-4) $
$ 6y - 24 + 6y + 12 = y^2 - 4y + 2y - 8 $
$ 12y - 12 = y^2 - 2y - 8 $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$ y^2 - 2y - 12y - 8 + 12 = 0 $
$ y^2 - 14y + 4 = 0 $
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(1)(4) = 196 - 16 = 180 $
$ \sqrt{D} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} $
$ y_1 = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{2} = 7 + 3\sqrt{5} $
$ y_2 = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{2} = 7 - 3\sqrt{5} $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $y$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
Случай 1: $y = 7 + 3\sqrt{5}$
$ x^2 + 3x = 7 + 3\sqrt{5} $
$ x^2 + 3x - (7 + 3\sqrt{5}) = 0 $
Найдем дискриминант $D_x$:
$ D_1 = 3^2 - 4(1)(-(7+3\sqrt{5})) = 9 + 28 + 12\sqrt{5} = 37 + 12\sqrt{5} $
Корни уравнения: $ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{37 + 12\sqrt{5}}}{2} $
Случай 2: $y = 7 - 3\sqrt{5}$
$ x^2 + 3x = 7 - 3\sqrt{5} $
$ x^2 + 3x - (7 - 3\sqrt{5}) = 0 $
Найдем дискриминант $D_x$:
$ D_2 = 3^2 - 4(1)(-(7-3\sqrt{5})) = 9 + 28 - 12\sqrt{5} = 37 - 12\sqrt{5} $
Корни уравнения: $ x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{37 - 12\sqrt{5}}}{2} $
Все найденные корни входят в ОДЗ.
Ответ: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{37 + 12\sqrt{5}}}{2}$, $x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{37 - 12\sqrt{5}}}{2}$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{x}{x^2 - x + 1} + \frac{3x}{x^2 + x + 1} = 2 $.
Проверим ОДЗ. Знаменатели $x^2 - x + 1$ и $x^2 + x + 1$ не обращаются в ноль при любых действительных $x$, так как их дискриминанты отрицательны ($D = 1-4=-3$). Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как при подстановке получаем $0=2$, что неверно.Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $x$ (так как $x \neq 0$):
$ \frac{1}{\frac{x^2 - x + 1}{x}} + \frac{3}{\frac{x^2 + x + 1}{x}} = 2 $
$ \frac{1}{x - 1 + \frac{1}{x}} + \frac{3}{x + 1 + \frac{1}{x}} = 2 $
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:
$ \frac{1}{y - 1} + \frac{3}{y + 1} = 2 $
ОДЗ для новой переменной: $y \neq 1$ и $y \neq -1$.
Приведем к общему знаменателю $(y-1)(y+1)$:
$ 1(y+1) + 3(y-1) = 2(y-1)(y+1) $
$ y + 1 + 3y - 3 = 2(y^2 - 1) $
$ 4y - 2 = 2y^2 - 2 $
$ 2y^2 - 4y = 0 $
$ 2y(y - 2) = 0 $
Получаем два решения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = 2$. Оба удовлетворяют ОДЗ для $y$.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $y=0$
$ x + \frac{1}{x} = 0 $
$ x^2 + 1 = 0 $
$ x^2 = -1 $. В этом случае действительных корней нет.
Случай 2: $y=2$
$ x + \frac{1}{x} = 2 $
$ x^2 + 1 = 2x $
$ x^2 - 2x + 1 = 0 $
$ (x-1)^2 = 0 $
$ x = 1 $
Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:
$ \frac{1}{1^2-1+1} + \frac{3 \cdot 1}{1^2+1+1} = \frac{1}{1} + \frac{3}{3} = 1+1=2 $. Равенство верно.
Ответ: $x=1$.

11.35.

1) $7(x + \frac{1}{x}) - 2(x^2 + \frac{1}{x^2}) = 9;$

2) $x^2 + \frac{4}{x^2} - 8 \cdot (x - \frac{2}{x}) = 4.$

1) $7\left(x + \frac{1}{x}\right) - 2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) = 9$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Данное уравнение является симметрическим (возвратным). Для его решения введем новую переменную.

Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$:

$y^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Теперь подставим выражения для $y$ и $y^2 - 2$ в исходное уравнение:

$7y - 2(y^2 - 2) = 9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$7y - 2y^2 + 4 = 9$

$-2y^2 + 7y - 5 = 0$

Умножим обе части на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$2y^2 - 7y + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 1$

$x + \frac{1}{x} = 1$

Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = x$

$x^2 - x + 1 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D_x = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D_x < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $y = \frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

Дискриминант $D_x = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{2}; 2$.

2) $x^2 + \frac{4}{x^2} - 8\left(x - \frac{2}{x}\right) = 4$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Это уравнение также решается методом замены переменной. Пусть $y = x - \frac{2}{x}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$y^2 = \left(x - \frac{2}{x}\right)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = x^2 - 4 + \frac{4}{x^2}$

Отсюда выразим $x^2 + \frac{4}{x^2} = y^2 + 4$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(y^2 + 4) - 8y = 4$

Упростим уравнение:

$y^2 - 8y + 4 - 4 = 0$

$y^2 - 8y = 0$

Вынесем $y$ за скобку:

$y(y - 8) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$ или $y_2 = 8$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 0$

$x - \frac{2}{x} = 0$

Умножим на $x$:

$x^2 - 2 = 0$

$x^2 = 2$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$

Случай 2: $y = 8$

$x - \frac{2}{x} = 8$

Умножим на $x$:

$x^2 - 2 = 8x$

$x^2 - 8x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 64 + 8 = 72$

$\sqrt{D} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

$x_3 = \frac{8 - 6\sqrt{2}}{2} = 4 - 3\sqrt{2}$

$x_4 = \frac{8 + 6\sqrt{2}}{2} = 4 + 3\sqrt{2}$

Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}; 4 - 3\sqrt{2}; 4 + 3\sqrt{2}$.

11.36. Могут ли пересекаться графики функций $y = ax^2 + 3x - 4$ и $y = ax - 5$?

Для того чтобы графики функций $y = ax^2 + 3x - 4$ и $y = ax - 5$ пересекались, необходимо, чтобы существовали значения $x$, для которых значения $y$ совпадают. Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:

$ax^2 + 3x - 4 = ax - 5$

Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые, чтобы получить уравнение в стандартном виде:

$ax^2 + 3x - ax - 4 + 5 = 0$

$ax^2 + (3 - a)x + 1 = 0$

Графики функций пересекаются, если это уравнение имеет хотя бы одно действительное решение для переменной $x$. Рассмотрим это уравнение, которое является уравнением с параметром $a$.

Рассмотрим случай, когда $a = 0$. Уравнение становится линейным:

$0 \cdot x^2 + (3 - 0)x + 1 = 0$

$3x + 1 = 0$

$x = -1/3$

Поскольку при $a = 0$ уравнение имеет один действительный корень, то графики функций пересекаются. Этого уже достаточно, чтобы дать положительный ответ на вопрос задачи.

Для полноты анализа рассмотрим случай, когда $a \neq 0$. В этом случае уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Вычислим дискриминант уравнения $ax^2 + (3 - a)x + 1 = 0$:

$D = (3 - a)^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = 9 - 6a + a^2 - 4a = a^2 - 10a + 9$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$ относительно параметра $a$:

$a^2 - 10a + 9 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, найдём корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 10a + 9 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $a_1 = 1$ и $a_2 = 9$.

Парабола $f(a) = a^2 - 10a + 9$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $a^2$ положителен), поэтому она принимает неотрицательные значения при $a$ вне интервала между корнями. Следовательно, неравенство выполняется при $a \in (-\infty, 1] \cup [9, \infty)$.

Таким образом, графики функций пересекаются при всех значениях параметра $a$, принадлежащих множеству $(-\infty, 1] \cup [9, \infty)$. Поскольку такие значения $a$ существуют (например, $a=0$, $a=1$, $a=9$), то графики данных функций могут пересекаться.

Ответ: Да, могут.