Номер 11.27, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.27. При каких значениях параметра $b$ корни уравнения $4x^2 - (3b^2 - 5|b| + 2)x - 3 = 0$ равны по модулю?

Заданное уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2+Bx+c=0$, где коэффициенты равны:
$a = 4$
$B = -(3b^2 - 5|b| + 2)$
$c = -3$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. По условию, корни равны по модулю, то есть $|x_1| = |x_2|$. Это возможно в двух случаях:
1) Корни равны: $x_1 = x_2$.
2) Корни являются противоположными числами: $x_1 = -x_2$ (при условии, что $x_1 \neq 0$).

Для анализа этих случаев воспользуемся теоремой Виета. Произведение корней равно $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$. В нашем уравнении: $x_1 x_2 = \frac{-3}{4}$.

Поскольку произведение корней $x_1 x_2 = -3/4$ является отрицательным числом, корни должны иметь разные знаки. Это означает, что один корень положителен, а другой отрицателен. Следовательно, случай $x_1 = x_2$ невозможен (он бы требовал, чтобы $x_1=x_2=0$, но $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке $x=0$ получаем $-3=0$, что неверно).

Таким образом, остается только второй случай: корни являются противоположными числами, $x_1 = -x_2$. Из этого условия следует, что их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -\frac{B}{a}$. Подставим наши коэффициенты: $x_1 + x_2 = -\frac{-(3b^2 - 5|b| + 2)}{4} = \frac{3b^2 - 5|b| + 2}{4}$.

Приравниваем сумму корней к нулю: $\frac{3b^2 - 5|b| + 2}{4} = 0$ $3b^2 - 5|b| + 2 = 0$

Это уравнение содержит модуль. Так как $b^2 = |b|^2$, мы можем сделать замену переменной. Пусть $t = |b|$. Поскольку модуль числа не может быть отрицательным, $t \ge 0$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $3t^2 - 5t + 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D_t = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$. $t_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.
$t_1 = \frac{5+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$t_2 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба найденных значения для $t$ неотрицательны, поэтому они являются допустимыми.

Теперь вернемся к переменной $b$.
1) Если $t = 1$, то $|b| = 1$. Отсюда получаем два значения: $b = 1$ и $b = -1$.
2) Если $t = 2/3$, то $|b| = 2/3$. Отсюда получаем еще два значения: $b = 2/3$ и $b = -2/3$.

Нам также необходимо убедиться, что при этих значениях параметра $b$ исходное квадратное уравнение имеет действительные корни. Для этого его дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$). $D_x = B^2 - 4ac = (-(3b^2 - 5|b| + 2))^2 - 4(4)(-3) = (3b^2 - 5|b| + 2)^2 + 48$. Мы нашли значения $b$, для которых выражение в скобках равно нулю: $3b^2 - 5|b| + 2 = 0$. При этих значениях $b$ дискриминант равен: $D_x = (0)^2 + 48 = 48$. Поскольку $D_x = 48 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при всех найденных значениях $b$.

Следовательно, все четыре найденных значения параметра $b$ удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $b \in \{-1, -2/3, 2/3, 1\}$.