Номер 11.34, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.34. 1) $\frac{6}{(x+1)(x+2)} + \frac{6}{(x-1)(x+4)} = 1;$

2) $\frac{x}{x^2 - x + 1} + \frac{3x}{x^2 + x + 1} = 2.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{6}{(x+1)(x+2)} + \frac{6}{(x-1)(x+4)} = 1 $.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -1$, $x \neq -2$, $x \neq 1$, $x \neq -4$.
Раскроем скобки в знаменателях:
$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$
$(x-1)(x+4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4$
Заметим, что оба знаменателя содержат выражение $x^2+3x$.
Уравнение можно переписать в виде:
$ \frac{6}{x^2+3x+2} + \frac{6}{x^2+3x-4} = 1 $
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2+3x$. Тогда уравнение примет вид:
$ \frac{6}{y+2} + \frac{6}{y-4} = 1 $
ОДЗ для новой переменной: $y \neq -2$ и $y \neq 4$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(y+2)(y-4)$:
$ 6(y-4) + 6(y+2) = (y+2)(y-4) $
$ 6y - 24 + 6y + 12 = y^2 - 4y + 2y - 8 $
$ 12y - 12 = y^2 - 2y - 8 $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$ y^2 - 2y - 12y - 8 + 12 = 0 $
$ y^2 - 14y + 4 = 0 $
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(1)(4) = 196 - 16 = 180 $
$ \sqrt{D} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} $
$ y_1 = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{2} = 7 + 3\sqrt{5} $
$ y_2 = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{2} = 7 - 3\sqrt{5} $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $y$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
Случай 1: $y = 7 + 3\sqrt{5}$
$ x^2 + 3x = 7 + 3\sqrt{5} $
$ x^2 + 3x - (7 + 3\sqrt{5}) = 0 $
Найдем дискриминант $D_x$:
$ D_1 = 3^2 - 4(1)(-(7+3\sqrt{5})) = 9 + 28 + 12\sqrt{5} = 37 + 12\sqrt{5} $
Корни уравнения: $ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{37 + 12\sqrt{5}}}{2} $
Случай 2: $y = 7 - 3\sqrt{5}$
$ x^2 + 3x = 7 - 3\sqrt{5} $
$ x^2 + 3x - (7 - 3\sqrt{5}) = 0 $
Найдем дискриминант $D_x$:
$ D_2 = 3^2 - 4(1)(-(7-3\sqrt{5})) = 9 + 28 - 12\sqrt{5} = 37 - 12\sqrt{5} $
Корни уравнения: $ x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{37 - 12\sqrt{5}}}{2} $
Все найденные корни входят в ОДЗ.
Ответ: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{37 + 12\sqrt{5}}}{2}$, $x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{37 - 12\sqrt{5}}}{2}$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{x}{x^2 - x + 1} + \frac{3x}{x^2 + x + 1} = 2 $.
Проверим ОДЗ. Знаменатели $x^2 - x + 1$ и $x^2 + x + 1$ не обращаются в ноль при любых действительных $x$, так как их дискриминанты отрицательны ($D = 1-4=-3$). Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как при подстановке получаем $0=2$, что неверно.Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $x$ (так как $x \neq 0$):
$ \frac{1}{\frac{x^2 - x + 1}{x}} + \frac{3}{\frac{x^2 + x + 1}{x}} = 2 $
$ \frac{1}{x - 1 + \frac{1}{x}} + \frac{3}{x + 1 + \frac{1}{x}} = 2 $
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:
$ \frac{1}{y - 1} + \frac{3}{y + 1} = 2 $
ОДЗ для новой переменной: $y \neq 1$ и $y \neq -1$.
Приведем к общему знаменателю $(y-1)(y+1)$:
$ 1(y+1) + 3(y-1) = 2(y-1)(y+1) $
$ y + 1 + 3y - 3 = 2(y^2 - 1) $
$ 4y - 2 = 2y^2 - 2 $
$ 2y^2 - 4y = 0 $
$ 2y(y - 2) = 0 $
Получаем два решения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = 2$. Оба удовлетворяют ОДЗ для $y$.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $y=0$
$ x + \frac{1}{x} = 0 $
$ x^2 + 1 = 0 $
$ x^2 = -1 $. В этом случае действительных корней нет.
Случай 2: $y=2$
$ x + \frac{1}{x} = 2 $
$ x^2 + 1 = 2x $
$ x^2 - 2x + 1 = 0 $
$ (x-1)^2 = 0 $
$ x = 1 $
Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:
$ \frac{1}{1^2-1+1} + \frac{3 \cdot 1}{1^2+1+1} = \frac{1}{1} + \frac{3}{3} = 1+1=2 $. Равенство верно.
Ответ: $x=1$.