Страница 101 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Всегда ли решение задачи совпадает с решением квадратного уравнения, которое составили по тексту задачи?

2. В каких случаях могут появиться посторонние корни при решении уравнений, составленных по условию текстовых задач?

1. Всегда ли решение задачи совпадает с решением квадратного уравнения, которое составили по тексту задачи?

Нет, не всегда. Решение текстовой задачи не всегда совпадает с полным набором решений квадратного уравнения, составленного по ее условию. Это происходит потому, что уравнение является лишь математической моделью задачи. Эта модель может иметь решения, которые являются математически верными, но не имеют смысла в контексте реальной ситуации, описанной в задаче.

Корни полученного квадратного уравнения должны быть проверены на соответствие условиям задачи. Часто искомые величины — это длины, площади, время, скорость, количество предметов. Эти величины по своей природе имеют ограничения:

• Они не могут быть отрицательными. Например, длина стороны фигуры или время в пути всегда положительны.
• Иногда они должны быть целыми. Например, количество людей или предметов не может быть дробным числом.

Если корень уравнения не удовлетворяет этим естественным ограничениям, его называют посторонним корнем и отбрасывают при формировании ответа к задаче.

Пример:

Задача: Один из катетов прямоугольного треугольника на 7 см меньше другого, а гипотенуза равна 13 см. Найдите катеты треугольника.

Решение: Пусть больший катет равен $x$ см. Тогда меньший катет равен $(x-7)$ см. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$x^2 + (x-7)^2 = 13^2$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + (x^2 - 14x + 49) = 169$

$2x^2 - 14x + 49 - 169 = 0$

$2x^2 - 14x - 120 = 0$

Разделим обе части на 2, чтобы упростить:

$x^2 - 7x - 60 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 = 17^2$

$x_1 = \frac{-(-7) + 17}{2} = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-(-7) - 17}{2} = \frac{7 - 17}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Уравнение имеет два корня: 12 и -5. Теперь вернемся к условию задачи. Переменная $x$ обозначает длину катета, которая не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -5$ является посторонним для данной задачи.

Единственное подходящее решение — $x_1 = 12$. Значит, один катет равен 12 см, а второй — $12 - 7 = 5$ см.

Таким образом, у квадратного уравнения два решения, но только одно из них является решением исходной задачи.

Ответ: Нет, решение задачи не всегда совпадает с решением составленного по ней квадратного уравнения, так как некоторые корни уравнения могут не соответствовать реальным условиям задачи (например, быть отрицательными, когда ищется длина, или дробными, когда ищется количество предметов).

2. В каких случаях могут появиться посторонние корни при решении уравнений, составленных по условию текстовых задач?

Посторонние корни при решении уравнений, составленных по условиям текстовых задач, появляются тогда, когда найденные математические решения не соответствуют ограничениям, накладываемым смыслом задачи, или когда в процессе решения уравнения были применены преобразования, расширяющие область допустимых значений.

Основные случаи появления посторонних корней:

1. Несоответствие физическому или логическому смыслу задачи. Это самая распространенная причина. Найденный корень может быть математически верным, но бессмысленным для описываемой ситуации.

а) Величины должны быть положительными. Длина, ширина, площадь, объем, время, скорость, масса и другие подобные величины не могут быть отрицательными. Если решением уравнения является отрицательное число, оно отбрасывается как постороннее.

б) Величины должны быть целыми. Если в задаче речь идет о количестве людей, предметов, животных и т.п., то искомая величина должна быть натуральным числом. Любой дробный, иррациональный или отрицательный корень в этом случае является посторонним.

в) Величины могут иметь другие логические ограничения. Например, если $x$ — это часть от целого, то должно выполняться условие $0 < x < 1$. Если $x$ — это скорость пешехода, то вряд ли она может быть 100 км/ч. Такие корни отбрасываются на основании здравого смысла.

2. Использование математических преобразований, не являющихся тождественными. Иногда посторонние корни появляются из-за самого метода решения уравнения.

а) Решение дробно-рациональных уравнений. При умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную (чтобы избавиться от знаменателя), могут появиться корни, которые обращают этот знаменатель в ноль. Такие корни не входят в область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения и являются посторонними.

б) Возведение обеих частей уравнения в четную степень. Например, при решении иррациональных уравнений возведение в квадрат может добавить лишние решения. Уравнение $A(x) = B(x)$ после возведения в квадрат превращается в $A^2(x) = B^2(x)$, что равносильно совокупности двух уравнений: $A(x) = B(x)$ и $A(x) = -B(x)$. Второе уравнение может дать посторонние корни.

Поэтому после нахождения всех корней уравнения необходимо выполнить проверку: сопоставить каждый корень с условиями и смыслом задачи, а также с областью допустимых значений исходного уравнения.

Ответ: Посторонние корни могут появиться, если найденные решения уравнения не соответствуют физическому или логическому смыслу величин в задаче (например, отрицательная длина, дробное количество людей) или если в процессе решения были выполнены неэквивалентные преобразования (например, избавление от знаменателя или возведение в квадрат), которые расширили область определения уравнения.