Страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.6.

1) Моторная лодка прошла по течению реки 8 км, против течения — 3 км, затратив на весь путь 0,75 часа. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2) Моторная лодка прошла по течению реки 20 км, против течения — 30 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 3 км/ч, а на весь путь затрачено 6 часов 40 минут.

1)

Пусть собственная скорость лодки равна $v$ км/ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Тогда скорость лодки по течению составляет $v + 2$ км/ч, а скорость против течения — $v - 2$ км/ч. Для того чтобы лодка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $v > 2$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, вычисляется по формуле $t = S/V$. В данном случае это $t_1 = \frac{8}{v+2}$ часа.

Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_2 = \frac{3}{v-2}$ часа.

Общее время на весь путь равно 0,75 часа. Составим и решим уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$\frac{8}{v+2} + \frac{3}{v-2} = 0,75$

Так как $0,75 = \frac{3}{4}$, уравнение можно переписать в виде:

$\frac{8}{v+2} + \frac{3}{v-2} = \frac{3}{4}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(v+2)(v-2) = v^2-4$:

$\frac{8(v-2) + 3(v+2)}{v^2-4} = \frac{3}{4}$

$\frac{8v - 16 + 3v + 6}{v^2-4} = \frac{3}{4}$

$\frac{11v - 10}{v^2-4} = \frac{3}{4}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$4(11v - 10) = 3(v^2-4)$

$44v - 40 = 3v^2 - 12$

$3v^2 - 44v + 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 28 = 1936 - 336 = 1600$

Корни уравнения:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{44 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 3} = \frac{44 \pm 40}{6}$

$v_1 = \frac{44+40}{6} = \frac{84}{6} = 14$

$v_2 = \frac{44-40}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Корень $v_2 = \frac{2}{3}$ не удовлетворяет условию задачи $v > 2$. Следовательно, собственная скорость лодки составляет 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч.

2)

Пусть собственная скорость лодки равна $v$ км/ч. Скорость течения реки — 3 км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна $v + 3$ км/ч, а против течения — $v - 3$ км/ч. Очевидно, что $v > 3$ км/ч.

Время движения по течению: $t_1 = \frac{20}{v+3}$ часа.

Время движения против течения: $t_2 = \frac{30}{v-3}$ часа.

Общее время в пути — 6 часов 40 минут. Переведем минуты в часы: $40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3}$ часа. Таким образом, общее время составляет $6 \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$ часа.

Составим уравнение, приравняв сумму времени в пути к общему времени:

$\frac{20}{v+3} + \frac{30}{v-3} = \frac{20}{3}$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 10:

$\frac{2}{v+3} + \frac{3}{v-3} = \frac{2}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v^2-9$:

$\frac{2(v-3) + 3(v+3)}{v^2-9} = \frac{2}{3}$

$\frac{2v - 6 + 3v + 9}{v^2-9} = \frac{2}{3}$

$\frac{5v + 3}{v^2-9} = \frac{2}{3}$

Применим свойство пропорции:

$3(5v + 3) = 2(v^2-9)$

$15v + 9 = 2v^2 - 18$

$2v^2 - 15v - 27 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 225 + 216 = 441$

Найдем корни:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{15 \pm 21}{4}$

$v_1 = \frac{15+21}{4} = \frac{36}{4} = 9$

$v_2 = \frac{15-21}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$

Корень $v_2 = -1,5$ является посторонним, так как скорость не может быть отрицательной. Условию $v > 3$ удовлетворяет только корень $v_1 = 9$.

Ответ: 9 км/ч.

12.7. 1) Расстояние по реке между двумя пристанями равно 24 км. Двигаясь вниз по течению, катер проходит этот путь на 30 минут быстрее, чем в обратном направлении. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2) Яхта прошла по течению реки 9 км и столько же против течения. На путь по течению затрачено на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость яхты в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

1) Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость катера по течению реки равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 2)$ км/ч. Расстояние между пристанями составляет 24 км.

Время, затраченное на путь по течению, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{24}{x+2}$ часа. Время, затраченное на обратный путь (против течения), составляет $t_2 = \frac{24}{x-2}$ часа.

По условию задачи, на путь по течению катер затратил на 30 минут (то есть на $0.5$ часа) меньше, чем на путь против течения. Это означает, что время движения против течения на $0.5$ часа больше, чем время движения по течению. Составим уравнение, исходя из этой разницы:

$t_2 - t_1 = 0.5$

$\frac{24}{x-2} - \frac{24}{x+2} = 0.5$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$:

$\frac{24(x+2) - 24(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 0.5$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{24x + 48 - 24x + 48}{x^2 - 4} = 0.5$

$\frac{96}{x^2 - 4} = 0.5$

Теперь решим полученное уравнение. Умножим обе части на $(x^2 - 4)$, при условии что $x^2-4 \neq 0$ (т.е. $x \neq \pm 2$):

$96 = 0.5(x^2 - 4)$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$192 = x^2 - 4$

Перенесем -4 в левую часть:

$x^2 = 192 + 4$

$x^2 = 196$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{196}$

$x_1 = 14$, $x_2 = -14$.

Поскольку собственная скорость катера не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -14$ не подходит по смыслу задачи. Собственная скорость катера должна быть больше скорости течения ($x > 2$), что выполняется для $x=14$.

Ответ: 14 км/ч.

2) Пусть $y$ км/ч — скорость яхты в стоячей воде. Тогда скорость яхты по течению реки равна $(y + 3)$ км/ч, а ее скорость против течения — $(y - 3)$ км/ч. Расстояние, пройденное в каждом направлении, составляет 9 км.

Время, которое яхта затратила на путь по течению, равно $t_{по} = \frac{9}{y+3}$ часа. Время, которое яхта затратила на путь против течения, равно $t_{против} = \frac{9}{y-3}$ часа.

Согласно условию, на путь по течению было затрачено на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Это можно выразить уравнением:

$t_{против} - t_{по} = 2$

$\frac{9}{y-3} - \frac{9}{y+3} = 2$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(y-3)(y+3) = y^2-9$:

$\frac{9(y+3) - 9(y-3)}{(y-3)(y+3)} = 2$

Упростим числитель:

$\frac{9y + 27 - 9y + 27}{y^2 - 9} = 2$

$\frac{54}{y^2 - 9} = 2$

Теперь решим полученное уравнение, умножив обе части на $(y^2 - 9)$, при условии, что $y \neq \pm 3$:

$54 = 2(y^2 - 9)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$27 = y^2 - 9$

Перенесем -9 в левую часть:

$y^2 = 27 + 9$

$y^2 = 36$

Извлечем квадратный корень:

$y = \pm\sqrt{36}$

$y_1 = 6$, $y_2 = -6$.

Скорость яхты не может быть отрицательной, поэтому корень $y_2 = -6$ не является решением задачи. Для движения против течения необходимо, чтобы собственная скорость была больше скорости течения ($y > 3$), что выполняется для $y=6$.

Ответ: 6 км/ч.

12.8.

1) Автомобиль был задержан в пути на 0,2 часа, затем, проехав 60 км, он наверстал это время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найдите начальную скорость автомобиля.

2) В 9 часов баржа отправилась из пункта А в пункт В, который находится в 60 км выше по течению, чем А. Спустя 2 часа после прибытия в В баржа поплыла обратно и прибыла в пункт А в 19 часов 20 минут того же дня. Найдите время, за которое баржа прибыла в пункт В, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

1) Пусть начальная скорость автомобиля равна $v$ км/ч. Тогда плановое время, за которое автомобиль должен был проехать 60 км, составляет $t_1 = \frac{60}{v}$ часов. После задержки автомобиль увеличил скорость на 15 км/ч, и его новая скорость стала $(v + 15)$ км/ч. Фактическое время, затраченное на этот участок пути, составило $t_2 = \frac{60}{v + 15}$ часов. По условию, за счет увеличения скорости автомобиль наверстал задержку в 0,2 часа. Это означает, что он проехал 60 км на 0,2 часа быстрее, чем планировалось изначально. Составим уравнение, отражающее эту разницу во времени:
$t_1 - t_2 = 0,2$
Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:
$\frac{60}{v} - \frac{60}{v + 15} = 0,2$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{60(v + 15) - 60v}{v(v + 15)} = 0,2$
Упростим числитель:
$\frac{60v + 900 - 60v}{v^2 + 15v} = 0,2$
$\frac{900}{v^2 + 15v} = 0,2$
Теперь решим это уравнение относительно $v$. Умножим обе части на $v^2 + 15v$ (при условии $v > 0$):
$900 = 0,2(v^2 + 15v)$
Разделим обе части на 0,2 (что эквивалентно умножению на 5):
$4500 = v^2 + 15v$
Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + 15v - 4500 = 0$
Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{18225} = 135$.
Найдем корни уравнения по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$v_1 = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$v_2 = \frac{-15 - 135}{2} = \frac{-150}{2} = -75$
Поскольку скорость автомобиля не может быть отрицательной, корень $v_2 = -75$ не является решением задачи. Следовательно, начальная скорость автомобиля была 60 км/ч.
Ответ: 60 км/ч.

2) Сначала определим общее время, которое прошло с момента отправления баржи из пункта А до ее возвращения в пункт А. Баржа отплыла в 9:00 и вернулась в 19:20 того же дня. Общее время в пути и на стоянке составляет: 19 часов 20 минут – 9 часов 00 минут = 10 часов 20 минут.
Переведем минуты в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.
Таким образом, общее время составляет $10\frac{1}{3} = \frac{31}{3}$ часа.
Из этого времени нужно вычесть стоянку в пункте В, которая длилась 2 часа. Время, затраченное на движение (туда и обратно), равно:
$\frac{31}{3} - 2 = \frac{31}{3} - \frac{6}{3} = \frac{25}{3}$ часа.
Пусть собственная скорость баржи (скорость в стоячей воде) равна $v_б$ км/ч. Скорость течения реки $v_т = 3$ км/ч. Расстояние между пунктами А и В равно $S = 60$ км.
Из пункта А в пункт В баржа плыла против течения, поэтому ее скорость была $v_{против} = v_б - 3$ км/ч. Время в пути из А в В: $t_{АВ} = \frac{60}{v_б - 3}$ ч.
Из пункта В в пункт А баржа плыла по течению, ее скорость была $v_{по} = v_б + 3$ км/ч. Время в пути из В в А: $t_{ВА} = \frac{60}{v_б + 3}$ ч.
Суммарное время движения равно $t_{АВ} + t_{ВА}$. Составим уравнение:
$\frac{60}{v_б - 3} + \frac{60}{v_б + 3} = \frac{25}{3}$
Разделим все члены уравнения на 5 для упрощения вычислений:
$\frac{12}{v_б - 3} + \frac{12}{v_б + 3} = \frac{5}{3}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(v_б - 3)(v_б + 3) = v_б^2 - 9$:
$\frac{12(v_б + 3) + 12(v_б - 3)}{v_б^2 - 9} = \frac{5}{3}$
$\frac{12v_б + 36 + 12v_б - 36}{v_б^2 - 9} = \frac{5}{3}$
$\frac{24v_б}{v_б^2 - 9} = \frac{5}{3}$
Воспользуемся свойством пропорции:
$3 \cdot (24v_б) = 5 \cdot (v_б^2 - 9)$
$72v_б = 5v_б^2 - 45$
Получили квадратное уравнение: $5v_б^2 - 72v_б - 45 = 0$.
Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$.
Найдем корни уравнения:
$v_{б1} = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15$
$v_{б2} = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0,6$
Собственная скорость баржи не может быть отрицательной, а также должна быть больше скорости течения, чтобы плыть против него ($v_б > 3$). Поэтому подходит только корень $v_б = 15$ км/ч.
В задаче требуется найти время, за которое баржа прибыла в пункт В, то есть $t_{АВ}$.
$t_{АВ} = \frac{60}{v_б - 3} = \frac{60}{15 - 3} = \frac{60}{12} = 5$ часов.
Ответ: 5 часов.

12.9.

1) Байдарка проплыла по течению реки 4 км, против течения — 6 км, затратив на весь путь 2 часа. Найдите скорость байдарки по течению, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2) Планер, пролетев 15 км по направлению ветра, развернулся и пролетел 10 км против ветра, затратив на весь путь 1 час. Найдите скорость планера против ветра, если скорость ветра равна 5 км/ч.

1)Пусть собственная скорость байдарки равна $x$ км/ч. Тогда скорость байдарки по течению реки (скорость сближения) равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения (скорость удаления) — $(x - 2)$ км/ч. При этом, чтобы байдарка могла двигаться против течения, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 2$.
Время, затраченное на путь по течению, вычисляется по формуле $t = S/v$ и составляет $t_1 = \frac{4}{x+2}$ часа.
Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_2 = \frac{6}{x-2}$ часа.
Общее время в пути составляет 2 часа, следовательно, мы можем составить уравнение:
$t_1 + t_2 = 2$
$\frac{4}{x+2} + \frac{6}{x-2} = 2$
Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $(x+2)(x-2)$:
$\frac{4(x-2) + 6(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 2$
Так как $x > 2$, знаменатель не равен нулю. Умножим обе части на $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$:
$4(x-2) + 6(x+2) = 2(x^2 - 4)$
$4x - 8 + 6x + 12 = 2x^2 - 8$
$10x + 4 = 2x^2 - 8$
$2x^2 - 10x - 12 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:
$x^2 - 5x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -6, а сумма равна 5. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -1$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, собственная скорость байдарки равна $6$ км/ч. Это удовлетворяет условию $x > 2$.
В задаче требуется найти скорость байдарки по течению.
Скорость по течению равна $x + 2 = 6 + 2 = 8$ км/ч.
Ответ: 8 км/ч.

2)Пусть собственная скорость планера в безветренную погоду равна $y$ км/ч. Тогда скорость планера по направлению ветра равна $(y + 5)$ км/ч, а скорость против ветра — $(y - 5)$ км/ч. Для того чтобы планер мог лететь против ветра, его собственная скорость должна быть больше скорости ветра, то есть $y > 5$.
Время, затраченное на полет по ветру, составляет $t_1 = \frac{15}{y+5}$ часа.
Время, затраченное на полет против ветра, составляет $t_2 = \frac{10}{y-5}$ часа.
Общее время полета составляет 1 час, что позволяет составить уравнение:
$\frac{15}{y+5} + \frac{10}{y-5} = 1$
Приведем дроби к общему знаменателю $(y+5)(y-5)$:
$\frac{15(y-5) + 10(y+5)}{(y+5)(y-5)} = 1$
Так как $y > 5$, знаменатель не равен нулю. Умножим обе части на $(y+5)(y-5) = y^2 - 25$:
$15(y-5) + 10(y+5) = y^2 - 25$
$15y - 75 + 10y + 50 = y^2 - 25$
$25y - 25 = y^2 - 25$
Перенесем все члены в одну сторону:
$y^2 - 25y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(y - 25) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = 25$.
Корень $y_1 = 0$ не удовлетворяет условию $y > 5$. Следовательно, собственная скорость планера равна $25$ км/ч.
В задаче требуется найти скорость планера против ветра.
Скорость против ветра равна $y - 5 = 25 - 5 = 20$ км/ч.
Ответ: 20 км/ч.

12.10. Автомобиль двигался по проселочной дороге с постоянной скоростью. Из-за плохого состояния дороги ему пришлось задержаться на 6 минут. Затем он увеличил скорость на 4 км/ч и ликвидировал опоздание, проехав еще 36 км. Найдите первоначальную скорость автомобиля.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автомобиля. Тогда после увеличения скорости она стала равна $(v + 4)$ км/ч.
Время задержки составляет 6 минут. Переведем это время в часы:
$6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$.
Автомобиль ликвидировал опоздание на участке пути в 36 км. Это означает, что время, которое он сэкономил, проехав этот участок с увеличенной скоростью, равно времени задержки.
Время, которое автомобиль затратил бы на 36 км с первоначальной скоростью, равно $t_1 = \frac{36}{v}$ ч.
Время, которое автомобиль фактически затратил на 36 км с новой скоростью, равно $t_2 = \frac{36}{v+4}$ ч.
Разница во времени составляет $\frac{1}{10}$ часа, поэтому мы можем составить уравнение:
$t_1 - t_2 = \frac{1}{10}$
$\frac{36}{v} - \frac{36}{v+4} = \frac{1}{10}$
Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+4)$:
$\frac{36(v+4) - 36v}{v(v+4)} = \frac{1}{10}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{36v + 144 - 36v}{v^2 + 4v} = \frac{1}{10}$
$\frac{144}{v^2 + 4v} = \frac{1}{10}$
Используя свойство пропорции (крест-накрест), получим:
$1 \cdot (v^2 + 4v) = 144 \cdot 10$
$v^2 + 4v = 1440$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + 4v - 1440 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1440) = 16 + 5760 = 5776$
Найдем корни уравнения:
$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{5776}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 76}{2}$
Получаем два корня:
$v_1 = \frac{-4 + 76}{2} = \frac{72}{2} = 36$
$v_2 = \frac{-4 - 76}{2} = \frac{-80}{2} = -40$
Поскольку скорость автомобиля не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -40$ не является решением задачи.
Следовательно, первоначальная скорость автомобиля составляла 36 км/ч.
Ответ: 36 км/ч.

12.11.

1) Моторный катер, собственная скорость которого $8 \text{ км/ч}$, прошел по реке $15 \text{ км}$ вниз по течению и такой же путь вверх по течению. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, составляет $4 \text{ часа}$.

2) Спортивная лодка прошла $45 \text{ км}$ вверх по течению реки и такой же путь вниз по течению, затратив всего $14 \text{ часов}$. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$.

1) Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Собственная скорость катера составляет 8 км/ч. Тогда скорость катера по течению реки равна $(8 + x)$ км/ч, а скорость против течения равна $(8 - x)$ км/ч. Катер прошел 15 км вниз по течению и 15 км вверх по течению.
Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{1} = \frac{S}{v_{по течению}} = \frac{15}{8+x}$ часов.
Время, затраченное на путь против течения, равно $t_{2} = \frac{S}{v_{против течения}} = \frac{15}{8-x}$ часов.
Общее время, затраченное на весь путь, составляет 4 часа, поэтому можно составить уравнение:
$t_{1} + t_{2} = 4$
$\frac{15}{8+x} + \frac{15}{8-x} = 4$
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(8+x)(8-x)$:
$\frac{15(8-x) + 15(8+x)}{(8+x)(8-x)} = 4$
$\frac{120 - 15x + 120 + 15x}{8^2 - x^2} = 4$
$\frac{240}{64 - x^2} = 4$
$240 = 4(64 - x^2)$
Разделим обе части на 4:
$60 = 64 - x^2$
$x^2 = 64 - 60$
$x^2 = 4$
$x = \sqrt{4}$
Уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -2$ не является решением задачи. Также для движения против течения необходимо, чтобы собственная скорость была больше скорости течения ($8 > x$), что выполняется для $x=2$.
Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.
Ответ: 2 км/ч.

2) Пусть собственная скорость спортивной лодки равна $x$ км/ч. Скорость течения реки составляет 2 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения равна $(x - 2)$ км/ч. Лодка прошла 45 км вверх по течению и 45 км вниз по течению.
Время, затраченное на путь против течения, равно $t_{1} = \frac{S}{v_{против течения}} = \frac{45}{x-2}$ часов.
Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{2} = \frac{S}{v_{по течению}} = \frac{45}{x+2}$ часов.
Общее время, затраченное на весь путь, составляет 14 часов, поэтому можно составить уравнение:
$t_{1} + t_{2} = 14$
$\frac{45}{x-2} + \frac{45}{x+2} = 14$
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:
$\frac{45(x+2) + 45(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 14$
$\frac{45x + 90 + 45x - 90}{x^2 - 4} = 14$
$\frac{90x}{x^2 - 4} = 14$
$90x = 14(x^2 - 4)$
$90x = 14x^2 - 56$
$14x^2 - 90x - 56 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
$7x^2 - 45x - 28 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-45)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 2025 + 784 = 2809$
$\sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53$
Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{45 + 53}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7$
$x_2 = \frac{45 - 53}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$
Поскольку собственная скорость лодки не может быть отрицательной, корень $x_2 = -4/7$ не подходит. Для движения против течения необходимо, чтобы собственная скорость была больше скорости течения ($x > 2$), что выполняется для $x=7$.
Следовательно, собственная скорость лодки равна 7 км/ч.
Ответ: 7 км/ч.