Номер 12.5, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.5. 1) Пешеход должен был пройти 12 км за некоторое время, но он был задержан с выходом на 1 час, поэтому ему пришлось увеличить скорость на 1 км/ч. С какой скоростью шел пешеход?

2) Велосипедист проехал 10 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 5 км/ч. На весь путь в оба конца было затрачено 1 час 10 минут. Найдите скорость, с которой велосипедист ехал от турбазы до города.

1)

Пусть $v$ км/ч — планируемая скорость пешехода, а $t$ ч — планируемое время. По условию, расстояние $S$ равно 12 км. Тогда справедливо равенство $S = v \cdot t$, то есть $12 = v \cdot t$.

Фактически пешеход шёл со скоростью $(v+1)$ км/ч, а время, затраченное на путь, составило $(t-1)$ ч, так как он вышел на час позже, но пришёл вовремя. Для фактического движения справедливо равенство $S = (v+1)(t-1)$, то есть $12 = (v+1)(t-1)$.

В задаче требуется найти фактическую скорость, то есть $v+1$. Обозначим эту скорость за $x$. Тогда $x = v+1$, а $v = x-1$.

Выразим время через расстояние и скорость:

Планируемое время: $t_{план} = \frac{12}{v} = \frac{12}{x-1}$ ч.

Фактическое время: $t_{факт} = \frac{12}{x}$ ч.

Разница между планируемым и фактическим временем составляет 1 час:

$t_{план} - t_{факт} = 1$

Составим и решим уравнение:

$\frac{12}{x-1} - \frac{12}{x} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-1)$:

$\frac{12x - 12(x-1)}{x(x-1)} = 1$

$\frac{12x - 12x + 12}{x^2 - x} = 1$

$\frac{12}{x^2 - x} = 1$

При условии $x^2 - x \neq 0$, получаем:

$x^2 - x = 12$

$x^2 - x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Корнями являются числа 4 и -3.

$x_1 = 4$, $x_2 = -3$.

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -3$ не является решением задачи. Следовательно, фактическая скорость пешехода равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

2)

Пусть $x$ км/ч — скорость, с которой велосипедист ехал от турбазы до города. Это искомая величина.

Согласно условию, на пути от города до турбазы его скорость была на 5 км/ч больше, то есть составляла $(x+5)$ км/ч.

Расстояние в одну сторону равно 10 км.

Время, затраченное на путь от города до турбазы: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{10}{x+5}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь от турбазы до города: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{10}{x}$ ч.

Общее время на весь путь составляет 1 час 10 минут. Переведем это время в часы:

$1 \text{ час } 10 \text{ минут} = 1 + \frac{10}{60} \text{ часа} = 1 + \frac{1}{6} \text{ часа} = \frac{7}{6}$ часа.

Сумма времени $t_1$ и $t_2$ равна общему времени в пути. Составим уравнение:

$\frac{10}{x+5} + \frac{10}{x} = \frac{7}{6}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{10x + 10(x+5)}{x(x+5)} = \frac{7}{6}$

$\frac{10x + 10x + 50}{x^2 + 5x} = \frac{7}{6}$

$\frac{20x + 50}{x^2 + 5x} = \frac{7}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$6(20x + 50) = 7(x^2 + 5x)$

$120x + 300 = 7x^2 + 35x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$7x^2 + 35x - 120x - 300 = 0$

$7x^2 - 85x - 300 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-85)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-300) = 7225 + 8400 = 15625$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{15625} = 125$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{85 + 125}{2 \cdot 7} = \frac{210}{14} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{85 - 125}{2 \cdot 7} = \frac{-40}{14} = -\frac{20}{7}$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2$ не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, скорость велосипедиста на пути от турбазы до города равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.