Страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.1. Принадлежат ли графику функции $y = 2x^2 - 2x - 5$ точки: A(-2; 17); B(-1; 5); C(1; -1); M(2; 10); K($1 \frac{1}{2}$; 3); P($\frac{1}{4}$; 94,5)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции $y = 2x^2 - 2x - 5$. Если в результате подстановки абсциссы точки (координаты $x$) значение функции совпадет с ординатой точки (координатой $y$), то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

A(-2; 17)
Подставляем $x = -2$ в уравнение функции:
$y = 2(-2)^2 - 2(-2) - 5 = 2 \cdot 4 + 4 - 5 = 8 + 4 - 5 = 7$
Полученное значение $y=7$ не совпадает с ординатой точки $17$ ($7 \neq 17$).
Ответ: не принадлежит.

B(-1; 5)
Подставляем $x = -1$ в уравнение функции:
$y = 2(-1)^2 - 2(-1) - 5 = 2 \cdot 1 + 2 - 5 = 4 - 5 = -1$
Полученное значение $y=-1$ не совпадает с ординатой точки $5$ ($-1 \neq 5$).
Ответ: не принадлежит.

C(1; -1)
Подставляем $x = 1$ в уравнение функции:
$y = 2(1)^2 - 2(1) - 5 = 2 \cdot 1 - 2 - 5 = 2 - 2 - 5 = -5$
Полученное значение $y=-5$ не совпадает с ординатой точки $-1$ ($-5 \neq -1$).
Ответ: не принадлежит.

M(2; 10)
Подставляем $x = 2$ в уравнение функции:
$y = 2(2)^2 - 2(2) - 5 = 2 \cdot 4 - 4 - 5 = 8 - 4 - 5 = -1$
Полученное значение $y=-1$ не совпадает с ординатой точки $10$ ($-1 \neq 10$).
Ответ: не принадлежит.

K(1$\frac{1}{2}$; 3)
Представим $x = 1\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби $1.5$ и подставим в уравнение функции:
$y = 2(1.5)^2 - 2(1.5) - 5 = 2 \cdot 2.25 - 3 - 5 = 4.5 - 3 - 5 = 1.5 - 5 = -3.5$
Полученное значение $y=-3.5$ не совпадает с ординатой точки $3$ ($-3.5 \neq 3$).
Ответ: не принадлежит.

P($\frac{1}{4}$; 94,5)
Представим $x = \frac{1}{4}$ в виде десятичной дроби $0.25$ и подставим в уравнение функции:
$y = 2(0.25)^2 - 2(0.25) - 5 = 2 \cdot 0.0625 - 0.5 - 5 = 0.125 - 0.5 - 5 = -5.375$
Полученное значение $y=-5.375$ не совпадает с ординатой точки $94.5$ ($-5.375 \neq 94.5$).
Ответ: не принадлежит.

13.2. Напишите координаты пяти точек, принадлежащих графику функции $y = -x^2 + 2x - 3$.

13.2. Чтобы найти координаты точек, принадлежащих графику функции, необходимо выбрать произвольные значения абсциссы ($x$) и, подставив их в уравнение функции, вычислить соответствующие значения ординаты ($y$). Запишем координаты для пяти таких точек для функции $y = -x^2 + 2x - 3$.

1. Пусть $x = 0$.
$y = -(0)^2 + 2 \cdot 0 - 3 = 0 + 0 - 3 = -3$.
Получаем точку с координатами $(0; -3)$.

2. Пусть $x = 1$.
$y = -(1)^2 + 2 \cdot 1 - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$.
Получаем точку с координатами $(1; -2)$. Эта точка является вершиной параболы.

3. Пусть $x = 2$.
$y = -(2)^2 + 2 \cdot 2 - 3 = -4 + 4 - 3 = -3$.
Получаем точку с координатами $(2; -3)$.

4. Пусть $x = -1$.
$y = -(-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 3 = -1 - 2 - 3 = -6$.
Получаем точку с координатами $(-1; -6)$.

5. Пусть $x = 3$.
$y = -(3)^2 + 2 \cdot 3 - 3 = -9 + 6 - 3 = -6$.
Получаем точку с координатами $(3; -6)$.

Ответ: $(0; -3)$, $(1; -2)$, $(2; -3)$, $(-1; -6)$, $(3; -6)$. (Можно выбрать любые другие пять точек, удовлетворяющие уравнению).

13.3. Найдите ординату точки графика функции $y = -2x^2 + 3x - 5$,

абсцисса которой равна:

1) -4; 2) -1,4; 3) -1; 4) -5; 5) 2,5; 6) 5.

Для нахождения ординаты (координаты $y$) точки графика функции $y = -2x^2 + 3x - 5$, необходимо подставить в это уравнение соответствующее значение абсциссы (координаты $x$) и выполнить вычисления.

1) При $x = -4$:

$y = -2(-4)^2 + 3(-4) - 5 = -2 \cdot 16 - 12 - 5 = -32 - 12 - 5 = -49$.

Ответ: $-49$.

2) При $x = -1,4$:

$y = -2(-1,4)^2 + 3(-1,4) - 5 = -2 \cdot 1,96 - 4,2 - 5 = -3,92 - 4,2 - 5 = -13,12$.

Ответ: $-13,12$.

3) При $x = -1$:

$y = -2(-1)^2 + 3(-1) - 5 = -2 \cdot 1 - 3 - 5 = -2 - 3 - 5 = -10$.

Ответ: $-10$.

4) При $x = -5$:

$y = -2(-5)^2 + 3(-5) - 5 = -2 \cdot 25 - 15 - 5 = -50 - 15 - 5 = -70$.

Ответ: $-70$.

5) При $x = 2,5$:

$y = -2(2,5)^2 + 3(2,5) - 5 = -2 \cdot 6,25 + 7,5 - 5 = -12,5 + 7,5 - 5 = -5 - 5 = -10$.

Ответ: $-10$.

6) При $x = 5$:

$y = -2(5)^2 + 3(5) - 5 = -2 \cdot 25 + 15 - 5 = -50 + 15 - 5 = -40$.

Ответ: $-40$.

Запишите координаты вершин параболы, укажите направление

ее ветвей и постройте графики функций (13.4–13.5):

13.4. 1) $y = x^2 + 4$; 2) $y = x^2 - 2$; 3) $y = -x^2 + 1.8$;

4) $y = -x^2 - 0.5$; 5) $y = x^2 - 1.4$; 6) $y = x^2 + 1.5$.

1) $y = x^2 + 4$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + c$, где коэффициент $a = 1$ и свободный член $c = 4$. Графиком функции является парабола.

Вершина параболы вида $y = ax^2 + c$ находится в точке с координатами $(0; c)$. Для данной функции вершина — это точка $(0; 4)$.

Поскольку коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем несколько точек. График симметричен относительно оси OY. Вершина находится в точке $(0; 4)$.
При $x = 1$, $y = 1^2 + 4 = 5$. Точка $(1; 5)$.
При $x = 2$, $y = 2^2 + 4 = 8$. Точка $(2; 8)$.
Симметричные точки: $(-1; 5)$ и $(-2; 8)$.
График функции $y = x^2 + 4$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх.

Ответ: Координаты вершины: $(0; 4)$, ветви направлены вверх.

2) $y = x^2 - 2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + c$, где $a = 1$ и $c = -2$. Графиком является парабола.

Вершина параболы находится в точке $(0; c)$, то есть в точке $(0; -2)$.

Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем несколько точек. Вершина: $(0; -2)$.
При $x = 1$, $y = 1^2 - 2 = -1$. Точка $(1; -1)$.
При $x = 2$, $y = 2^2 - 2 = 2$. Точка $(2; 2)$.
Симметричные точки: $(-1; -1)$ и $(-2; 2)$.
График функции $y = x^2 - 2$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом на 2 единицы вниз.

Ответ: Координаты вершины: $(0; -2)$, ветви направлены вверх.

3) $y = -x^2 + 1,8$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + c$, где $a = -1$ и $c = 1,8$. Графиком является парабола.

Вершина параболы находится в точке $(0; c)$, то есть в точке $(0; 1,8)$.

Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем несколько точек. Вершина: $(0; 1,8)$.
При $x = 1$, $y = -1^2 + 1,8 = 0,8$. Точка $(1; 0,8)$.
При $x = 2$, $y = -2^2 + 1,8 = -2,2$. Точка $(2; -2,2)$.
Симметричные точки: $(-1; 0,8)$ и $(-2; -2,2)$.
График функции $y = -x^2 + 1,8$ получается из графика $y = -x^2$ сдвигом на 1,8 единицы вверх.

Ответ: Координаты вершины: $(0; 1,8)$, ветви направлены вниз.

4) $y = -x^2 - 0,5$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + c$, где $a = -1$ и $c = -0,5$. Графиком является парабола.

Вершина параболы находится в точке $(0; c)$, то есть в точке $(0; -0,5)$.

Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем несколько точек. Вершина: $(0; -0,5)$.
При $x = 1$, $y = -1^2 - 0,5 = -1,5$. Точка $(1; -1,5)$.
При $x = 2$, $y = -2^2 - 0,5 = -4,5$. Точка $(2; -4,5)$.
Симметричные точки: $(-1; -1,5)$ и $(-2; -4,5)$.
График функции $y = -x^2 - 0,5$ получается из графика $y = -x^2$ сдвигом на 0,5 единицы вниз.

Ответ: Координаты вершины: $(0; -0,5)$, ветви направлены вниз.

5) $y = x^2 - 1,4$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + c$, где $a = 1$ и $c = -1,4$. Графиком является парабола.

Вершина параболы находится в точке $(0; c)$, то есть в точке $(0; -1,4)$.

Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем несколько точек. Вершина: $(0; -1,4)$.
При $x = 1$, $y = 1^2 - 1,4 = -0,4$. Точка $(1; -0,4)$.
При $x = 2$, $y = 2^2 - 1,4 = 2,6$. Точка $(2; 2,6)$.
Симметричные точки: $(-1; -0,4)$ и $(-2; 2,6)$.
График функции $y = x^2 - 1,4$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом на 1,4 единицы вниз.

Ответ: Координаты вершины: $(0; -1,4)$, ветви направлены вверх.

6) $y = x^2 + 1,5$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + c$, где $a = 1$ и $c = 1,5$. Графиком является парабола.

Вершина параболы находится в точке $(0; c)$, то есть в точке $(0; 1,5)$.

Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем несколько точек. Вершина: $(0; 1,5)$.
При $x = 1$, $y = 1^2 + 1,5 = 2,5$. Точка $(1; 2,5)$.
При $x = 2$, $y = 2^2 + 1,5 = 5,5$. Точка $(2; 5,5)$.
Симметричные точки: $(-1; 2,5)$ и $(-2; 5,5)$.
График функции $y = x^2 + 1,5$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом на 1,5 единицы вверх.

Ответ: Координаты вершины: $(0; 1,5)$, ветви направлены вверх.

13.5. 1) $y = 2x^2 + 4;$

2) $y = 3x^2 - 2;$

3) $y = -2x^2 + 1.5;$

4) $y = -0.5 x^2 - 1.5;$

5) $y = 1\frac{1}{3} x^2 - 4.5;$

6) $y = 1\frac{3}{8} x^2 + 1.5.$

1)Дана функция $y = 2x^2 + 4$.
Это квадратичная функция, представленная в виде $y = ax^2 + k$. Графиком такой функции является парабола.
В данном случае, коэффициент $a = 2$ и $k = 4$.
Поскольку $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы вида $y = ax^2 + k$ находится в точке с координатами $(0, k)$. Следовательно, вершина данной параболы имеет координаты $(0, 4)$.
Ответ: вершина параболы находится в точке $(0, 4)$, ветви направлены вверх.

2)Дана функция $y = 3x^2 - 2$.
Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + k$. Графиком является парабола.
Здесь коэффициенты $a = 3$ и $k = -2$.
Так как $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, k)$, то есть в точке $(0, -2)$.
Ответ: вершина параболы находится в точке $(0, -2)$, ветви направлены вверх.

3)Дана функция $y = -2x^2 + 1,5$.
Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + k$. Графиком является парабола.
Коэффициенты равны $a = -2$ и $k = 1,5$.
Поскольку $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, k)$, что соответствует точке $(0; 1,5)$.
Ответ: вершина параболы находится в точке $(0; 1,5)$, ветви направлены вниз.

4)Дана функция $y = -0,5x^2 - 1,5$.
Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + k$. Графиком является парабола.
В этом уравнении $a = -0,5$ и $k = -1,5$.
Так как $a = -0,5 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Координаты вершины параболы определяются как $(0, k)$, поэтому вершина находится в точке $(0; -1,5)$.
Ответ: вершина параболы находится в точке $(0; -1,5)$, ветви направлены вниз.

5)Дана функция $y = 1\frac{1}{3}x^2 - 4,5$.
Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + k$. Графиком является парабола.
Коэффициент $a = 1\frac{1}{3}$ и $k = -4,5$.
Поскольку $a = 1\frac{1}{3} > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, k)$, то есть в точке $(0; -4,5)$.
Ответ: вершина параболы находится в точке $(0; -4,5)$, ветви направлены вверх.

6)Дана функция $y = 1\frac{3}{8}x^2 + 1,5$.
Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + k$. Графиком является парабола.
Коэффициенты данной функции: $a = 1\frac{3}{8}$ и $k = 1,5$.
Так как $a = 1\frac{3}{8} > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, k)$, что соответствует точке $(0; 1,5)$.
Ответ: вершина параболы находится в точке $(0; 1,5)$, ветви направлены вверх.

13.6. Постройте график функции $y = \frac{2}{3}x^2 + 1$. По графику найдите:

1) значение $y$ при $x = -2,5; -1,5; 2,5;$

2) значение $x$ при $y = -2; 1,5; 4,5;$

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Для построения графика функции $y = \frac{2}{3}x^2 + 1$ определим её ключевые свойства. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{2}{3}$, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (2/3)} = 0$. Ордината вершины $y_0 = \frac{2}{3}(0)^2 + 1 = 1$. Таким образом, вершина параболы — точка $(0, 1)$.

Ось симметрии параболы — ось OY. Составим таблицу значений, выбирая симметричные относительно нуля значения x:

Построим график функции на координатной плоскости, используя эти точки.

Теперь найдем требуемые значения по графику.

1) значение y при x = -2,5; -1,5; 2,5;

Находим на оси абсцисс (оси x) заданные значения, мысленно проводим вертикальные линии до пересечения с графиком, а затем горизонтальные линии от точек пересечения до оси ординат (оси y).
При $x = -2,5$, по графику видно, что значение $y$ немного больше 5. Точный расчет: $y = \frac{2}{3}(-2,5)^2 + 1 = \frac{2}{3}(6,25) + 1 = \frac{12,5}{3} + 1 = \frac{15,5}{3} \approx 5,17$.
При $x = -1,5$, по графику $y = 2,5$. Точный расчет: $y = \frac{2}{3}(-1,5)^2 + 1 = \frac{2}{3}(2,25) + 1 = 1,5 + 1 = 2,5$.
При $x = 2,5$, в силу симметрии параболы относительно оси y, значение $y$ такое же, как и при $x = -2,5$, то есть $y \approx 5,17$.
Ответ: при $x = -2,5$, $y \approx 5,2$; при $x = -1,5$, $y = 2,5$; при $x = 2,5$, $y \approx 5,2$.

2) значение x при y = -2; 1,5; 4,5;

Находим на оси ординат (оси y) заданные значения, мысленно проводим горизонтальные линии до пересечения с графиком, а затем вертикальные линии от точек пересечения до оси абсцисс (оси x).
При $y = -2$, горизонтальная линия не пересекает график функции, так как наименьшее значение функции равно 1 (в вершине). Следовательно, решений нет.
При $y = 1,5$, горизонтальная линия пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек примерно равны $x \approx 0,9$ и $x \approx -0,9$.
При $y = 4,5$, горизонтальная линия пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек примерно равны $x \approx 2,3$ и $x \approx -2,3$.
Ответ: при $y = -2$ значений $x$ нет; при $y = 1,5$, $x \approx \pm 0,9$; при $y = 4,5$, $x \approx \pm 2,3$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины.
Функция убывает, когда $x$ изменяется от $-\infty$ до $0$.
Функция возрастает, когда $x$ изменяется от $0$ до $+\infty$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

13.7. Постройте график функции $y = - 2x^2 + 3$. По графику найдите:

1) значение y при x = -3,5; -2,5; 5,1;

2) значение x при y = -5; -0,2; 4,5;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Для построения графика функции $y = -2x^2 + 3$ определим её ключевые свойства.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$ (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$

$y_0 = -2(0)^2 + 3 = 3$

Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=0$ (ось Oy).

Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси симметрии:

Построим график функции, используя эти точки.

1) значение y при x = -3,5; -2,5; 5,1;

Чтобы найти значение $y$ по графику для заданного значения $x$, нужно найти на оси абсцисс (Ox) точку с этой координатой, провести вертикальную линию до пересечения с параболой, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат (Oy). Координата точки на оси Oy и будет искомым значением функции. Для большей точности выполним также и вычисления.

• При $x = -3,5$: на графике видно, что значение $y$ будет очень низким. Вычислим его: $y = -2(-3,5)^2 + 3 = -2(12,25) + 3 = -24,5 + 3 = -21,5$.
• При $x = -2,5$: по графику находим $y \approx -9,5$. Точный расчет: $y = -2(-2,5)^2 + 3 = -2(6,25) + 3 = -12,5 + 3 = -9,5$.
• При $x = 5,1$: это значение $x$ выходит за пределы построенного графика. Вычислим значение $y$: $y = -2(5,1)^2 + 3 = -2(26,01) + 3 = -52,02 + 3 = -49,02$.

Ответ: при $x = -3,5, y = -21,5$; при $x = -2,5, y = -9,5$; при $x = 5,1, y = -49,02$.

2) значение x при y = -5; -0,2; 4,5;

Чтобы найти значение $x$, при котором $y$ принимает заданное значение, нужно найти это значение на оси ординат (Oy), провести горизонтальную линию и найти абсциссы точек её пересечения с параболой.

• При $y = -5$: проводим горизонтальную линию $y=-5$. Из графика видно, что она пересекает параболу в двух точках. Абсциссы этих точек: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
• При $y = -0,2$: проводим горизонтальную линию $y=-0,2$. Она пересекает параболу в двух точках, близких к $x \approx 1,3$ и $x \approx -1,3$. Найдем точное значение:
  $-0,2 = -2x^2 + 3$
  $2x^2 = 3 + 0,2$
  $2x^2 = 3,2$
  $x^2 = 1,6$
  $x = \pm\sqrt{1,6} \approx \pm1,26$.
• При $y = 4,5$: проводим горизонтальную линию $y = 4,5$. Эта линия находится выше вершины параболы $(0, 3)$ и, следовательно, не пересекает график. Это означает, что не существует действительных значений $x$, при которых функция принимает значение $4,5$.

Ответ: при $y = -5, x = \pm2$; при $y = -0,2, x = \pm\sqrt{1,6} \approx \pm1,26$; при $y = 4,5$ решений нет.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Функция возрастает на том промежутке, где её график при движении слева направо "поднимается вверх". Функция убывает, где её график "опускается вниз".

Вершина параболы $y = -2x^2 + 3$ находится в точке $(0, 3)$. Это точка максимума.

• Слева от вершины, то есть при $x \in (-\infty, 0)$, график поднимается вверх. Следовательно, функция возрастает.
• Справа от вершины, то есть при $x \in (0, +\infty)$, график опускается вниз. Следовательно, функция убывает.

Включая точку $x=0$ в оба промежутка, получаем:

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

13.8. Используя шаблон параболы $y = x^2$, постройте график и запишите нули функции:

1) $y = x^2 - 4$;

2) $y = x^2 - 1,6$;

3) $y = x^2 - 0,49$;

4) $y = x^2 + 2,4$;

5) $y = -x^2 + 1,44$;

6) $y = -x^2 + 2,5$.

1) $y = x^2 - 4$

График функции $y = x^2 - 4$ получается из графика параболы (шаблона) $y = x^2$ путем параллельного переноса на 4 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина параболы смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -4)$. Ветви параболы остаются направленными вверх.

Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$. Чтобы их найти, решим уравнение: $x^2 - 4 = 0$ $x^2 = 4$ $x = \pm\sqrt{4}$ $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Ответ: -2; 2.

2) $y = x^2 - 1,6$

График функции $y = x^2 - 1,6$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем сдвига на 1,6 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина параболы смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -1,6)$. Ветви параболы направлены вверх.

Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$: $x^2 - 1,6 = 0$ $x^2 = 1,6$ $x = \pm\sqrt{1,6}$

Ответ: $-\sqrt{1,6}$; $\sqrt{1,6}$.

3) $y = x^2 - 0,49$

График функции $y = x^2 - 0,49$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем сдвига на 0,49 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина параболы смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, -0,49)$. Ветви параболы направлены вверх.

Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$: $x^2 - 0,49 = 0$ $x^2 = 0,49$ $x = \pm\sqrt{0,49}$ $x_1 = 0,7$, $x_2 = -0,7$.

Ответ: -0,7; 0,7.

4) $y = x^2 + 2,4$

График функции $y = x^2 + 2,4$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2,4 единицы вверх вдоль оси Oy. Вершина параболы смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(0, 2,4)$. Ветви параболы направлены вверх.

Найдем нули функции: $x^2 + 2,4 = 0 \implies x^2 = -2,4$. Поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у функции нет нулей. Это также видно из графика: парабола полностью расположена выше оси Ox и не пересекает ее.

Ответ: нулей нет.

5) $y = -x^2 + 1,44$

График функции $y = -x^2 + 1,44$ получается из графика $y = x^2$ в два шага. Сначала — симметричное отражение относительно оси Ox, что дает параболу $y = -x^2$, ветви которой направлены вниз. Затем — сдвиг полученной параболы на 1,44 единицы вверх вдоль оси Oy. Вершина итоговой параболы находится в точке $(0, 1,44)$.

Найдем нули функции: $-x^2 + 1,44 = 0$ $x^2 = 1,44$ $x = \pm\sqrt{1,44}$ $x_1 = 1,2$, $x_2 = -1,2$.

Ответ: -1,2; 1,2.

6) $y = -x^2 + 2,5$

График функции $y = -x^2 + 2,5$ получается из графика $y = x^2$ симметричным отражением относительно оси Ox (получаем $y = -x^2$) и последующим сдвигом на 2,5 единицы вверх вдоль оси Oy. Вершина итоговой параболы, ветви которой направлены вниз, находится в точке $(0, 2,5)$.

Найдем нули функции: $-x^2 + 2,5 = 0$ $x^2 = 2,5$ $x = \pm\sqrt{2,5}$

Ответ: $-\sqrt{2,5}$; $\sqrt{2,5}$.

13.9. Используя шаблон параболы $y = x^2$, постройте график, запишите координаты вершины параболы и нули функции:

1) $y = (x - 4)^2$;

2) $y = (x + 4)^2$;

3) $y = (x - 2,5)^2$;

4) $y = -(x - 1)^2$;

5) $y = -(x + 3)^2$;

6) $y = -(x - 3,2)^2$.

1) $y = (x - 4)^2$
График этой функции — парабола, которая получается из графика функции (шаблона) $y = x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на 4 единицы вправо. Ветви параболы направлены вверх.Координаты вершины параболы: $(4; 0)$.
Нули функции: решим уравнение $(x - 4)^2 = 0$, получим $x = 4$.
Ответ: координаты вершины $(4; 0)$, нуль функции $x=4$.

2) $y = (x + 4)^2$
График этой функции — парабола, которая получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на 4 единицы влево. Ветви параболы направлены вверх.Координаты вершины параболы: $(-4; 0)$.
Нули функции: решим уравнение $(x + 4)^2 = 0$, получим $x = -4$.
Ответ: координаты вершины $(-4; 0)$, нуль функции $x=-4$.

3) $y = (x - 2,5)^2$
График этой функции — парабола, которая получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на 2,5 единицы вправо. Ветви параболы направлены вверх.Координаты вершины параболы: $(2,5; 0)$.
Нули функции: решим уравнение $(x - 2,5)^2 = 0$, получим $x = 2,5$.
Ответ: координаты вершины $(2,5; 0)$, нуль функции $x=2,5$.

4) $y = -(x - 1)^2$
График этой функции — парабола, которая получается из графика функции $y = x^2$ путем отражения относительно оси абсцисс (ветви направлены вниз) и параллельного переноса на 1 единицу вправо.Координаты вершины параболы: $(1; 0)$.
Нули функции: решим уравнение $-(x - 1)^2 = 0$, получим $x = 1$.
Ответ: координаты вершины $(1; 0)$, нуль функции $x=1$.

5) $y = -(x + 3)^2$
График этой функции — парабола, которая получается из графика функции $y = x^2$ путем отражения относительно оси абсцисс (ветви направлены вниз) и параллельного переноса на 3 единицы влево.Координаты вершины параболы: $(-3; 0)$.
Нули функции: решим уравнение $-(x + 3)^2 = 0$, получим $x = -3$.
Ответ: координаты вершины $(-3; 0)$, нуль функции $x=-3$.

6) $y = -(x - 3,2)^2$
График этой функции — парабола, которая получается из графика функции $y = x^2$ путем отражения относительно оси абсцисс (ветви направлены вниз) и параллельного переноса на 3,2 единицы вправо.Координаты вершины параболы: $(3,2; 0)$.
Нули функции: решим уравнение $-(x - 3,2)^2 = 0$, получим $x = 3,2$.
Ответ: координаты вершины $(3,2; 0)$, нуль функции $x=3,2$.

13.10. В каких координатных четвертях расположен график функции:

1) $y = (x - 1,2)^2$;

2) $y = (x + 3,2)^2$;

3) $y = -(x - 2,9)^2$;

4) $y = 2x^2 + 2,8$;

5) $y = -3x^2 + 1,7$;

6) $y = -0,5x^2 - 25?$

Для определения, в каких координатных четвертях расположен график функции, необходимо проанализировать уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, или, в более удобной форме, $y = a(x - h)^2 + k$. Основными параметрами являются направление ветвей параболы (определяется знаком коэффициента $a$) и расположение ее вершины $(h, k)$.

1) $y = (x - 1,2)^2$

Это уравнение параболы в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Здесь коэффициент при скобке $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Координаты вершины параболы $(h; k)$ равны $(1,2; 0)$. Вершина находится на положительной полуоси абсцисс (оси Ox). Поскольку вершина лежит на оси Ox, а ветви направлены вверх, все значения функции $y$ неотрицательны ($y \ge 0$). Это означает, что график полностью расположен в верхней полуплоскости. Часть графика при $x > 0$ находится в I четверти, а часть графика при $x < 0$ — во II четверти. Таким образом, график функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
Ответ: в I и II координатных четвертях.

2) $y = (x + 3,2)^2$

Это уравнение параболы $y = (x - (-3,2))^2 + 0$. Коэффициент $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(-3,2; 0)$, то есть на отрицательной полуоси абсцисс. Так как ветви направлены вверх от вершины, лежащей на оси Ox, все значения $y$ неотрицательны ($y \ge 0$). График расположен в верхней полуплоскости. При $x > 0$, $y > 0$, что соответствует I четверти. При $x < 0$, $y \ge 0$, что соответствует II четверти. Следовательно, график функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
Ответ: в I и II координатных четвертях.

3) $y = -(x - 2,9)^2$

Для этой параболы коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ее ветви направлены вниз. Вершина находится в точке $(2,9; 0)$ на положительной полуоси абсцисс. Поскольку ветви направлены вниз от вершины, лежащей на оси Ox, все значения функции $y$ неположительны ($y \le 0$). График полностью расположен в нижней полуплоскости. При $x > 0$, $y \le 0$, что соответствует IV четверти. При $x < 0$, $y < 0$, что соответствует III четверти. Таким образом, график функции расположен в третьей и четвертой координатных четвертях.
Ответ: в III и IV координатных четвертях.

4) $y = 2x^2 + 2,8$

Это парабола с коэффициентом $a = 2 > 0$ (ветви вверх) и вершиной в точке $(0; 2,8)$. Вершина расположена на положительной полуоси ординат (оси Oy). Так как вершина является точкой минимума, наименьшее значение функции равно $2,8$. Все значения функции $y$ строго положительны ($y \ge 2,8$). Это означает, что график целиком лежит выше оси Ox. При $x > 0$ точки графика находятся в I четверти, а при $x < 0$ — во II четверти. Следовательно, график функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
Ответ: в I и II координатных четвертях.

5) $y = -3x^2 + 1,7$

Для этой параболы коэффициент $a = -3 < 0$ (ветви вниз), а вершина находится в точке $(0; 1,7)$ на положительной полуоси ординат. Вершина является точкой максимума, и максимальное значение функции равно $1,7$. Поскольку ветви направлены вниз от положительной вершины, график будет пересекать ось Ox и принимать как положительные, так и отрицательные значения.
• Часть графика находится выше оси Ox (где $y>0$), что происходит при $x$, близких к нулю. Эта часть расположена в I ($x>0, y>0$) и II ($x<0, y>0$) четвертях.
• Часть графика находится ниже оси Ox (где $y<0$), что происходит при достаточно больших по модулю значениях $x$. Эта часть расположена в III ($x<0, y<0$) и IV ($x>0, y<0$) четвертях.Таким образом, график функции расположен во всех четырех координатных четвертях.
Ответ: в I, II, III и IV координатных четвертях.

6) $y = -0,5x^2 - 25$

У этой параболы коэффициент $a = -0,5 < 0$ (ветви вниз), а вершина находится в точке $(0; -25)$ на отрицательной полуоси ординат. Вершина является точкой максимума, и максимальное значение функции равно $-25$. Поскольку все значения функции $y$ отрицательны ($y \le -25$), график целиком лежит ниже оси Ox. При $x > 0$ точки графика находятся в IV четверти ($x>0, y<0$), а при $x < 0$ — в III четверти ($x<0, y<0$). Следовательно, график функции расположен в третьей и четвертой координатных четвертях.
Ответ: в III и IV координатных четвертях.