Номер 13.10, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 13. Квадратичная функция вида. Глава 3. Квадратичная функция - номер 13.10, страница 111.

Условие.

13.10. В каких координатных четвертях расположен график функции:

1) $y = (x - 1,2)^2$;

2) $y = (x + 3,2)^2$;

3) $y = -(x - 2,9)^2$;

4) $y = 2x^2 + 2,8$;

5) $y = -3x^2 + 1,7$;

6) $y = -0,5x^2 - 25?$

Решение.

Решение 2 (rus).

Для определения, в каких координатных четвертях расположен график функции, необходимо проанализировать уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, или, в более удобной форме, $y = a(x - h)^2 + k$. Основными параметрами являются направление ветвей параболы (определяется знаком коэффициента $a$) и расположение ее вершины $(h, k)$.

1) $y = (x - 1,2)^2$

Это уравнение параболы в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Здесь коэффициент при скобке $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Координаты вершины параболы $(h; k)$ равны $(1,2; 0)$. Вершина находится на положительной полуоси абсцисс (оси Ox). Поскольку вершина лежит на оси Ox, а ветви направлены вверх, все значения функции $y$ неотрицательны ($y \ge 0$). Это означает, что график полностью расположен в верхней полуплоскости. Часть графика при $x > 0$ находится в I четверти, а часть графика при $x < 0$ — во II четверти. Таким образом, график функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
Ответ: в I и II координатных четвертях.

2) $y = (x + 3,2)^2$

Это уравнение параболы $y = (x - (-3,2))^2 + 0$. Коэффициент $a = 1 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(-3,2; 0)$, то есть на отрицательной полуоси абсцисс. Так как ветви направлены вверх от вершины, лежащей на оси Ox, все значения $y$ неотрицательны ($y \ge 0$). График расположен в верхней полуплоскости. При $x > 0$, $y > 0$, что соответствует I четверти. При $x < 0$, $y \ge 0$, что соответствует II четверти. Следовательно, график функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
Ответ: в I и II координатных четвертях.

3) $y = -(x - 2,9)^2$

Для этой параболы коэффициент $a = -1 < 0$, значит, ее ветви направлены вниз. Вершина находится в точке $(2,9; 0)$ на положительной полуоси абсцисс. Поскольку ветви направлены вниз от вершины, лежащей на оси Ox, все значения функции $y$ неположительны ($y \le 0$). График полностью расположен в нижней полуплоскости. При $x > 0$, $y \le 0$, что соответствует IV четверти. При $x < 0$, $y < 0$, что соответствует III четверти. Таким образом, график функции расположен в третьей и четвертой координатных четвертях.
Ответ: в III и IV координатных четвертях.

4) $y = 2x^2 + 2,8$

Это парабола с коэффициентом $a = 2 > 0$ (ветви вверх) и вершиной в точке $(0; 2,8)$. Вершина расположена на положительной полуоси ординат (оси Oy). Так как вершина является точкой минимума, наименьшее значение функции равно $2,8$. Все значения функции $y$ строго положительны ($y \ge 2,8$). Это означает, что график целиком лежит выше оси Ox. При $x > 0$ точки графика находятся в I четверти, а при $x < 0$ — во II четверти. Следовательно, график функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
Ответ: в I и II координатных четвертях.

5) $y = -3x^2 + 1,7$

Для этой параболы коэффициент $a = -3 < 0$ (ветви вниз), а вершина находится в точке $(0; 1,7)$ на положительной полуоси ординат. Вершина является точкой максимума, и максимальное значение функции равно $1,7$. Поскольку ветви направлены вниз от положительной вершины, график будет пересекать ось Ox и принимать как положительные, так и отрицательные значения.
• Часть графика находится выше оси Ox (где $y>0$), что происходит при $x$, близких к нулю. Эта часть расположена в I ($x>0, y>0$) и II ($x<0, y>0$) четвертях.
• Часть графика находится ниже оси Ox (где $y<0$), что происходит при достаточно больших по модулю значениях $x$. Эта часть расположена в III ($x<0, y<0$) и IV ($x>0, y<0$) четвертях.Таким образом, график функции расположен во всех четырех координатных четвертях.
Ответ: в I, II, III и IV координатных четвертях.

6) $y = -0,5x^2 - 25$

У этой параболы коэффициент $a = -0,5 < 0$ (ветви вниз), а вершина находится в точке $(0; -25)$ на отрицательной полуоси ординат. Вершина является точкой максимума, и максимальное значение функции равно $-25$. Поскольку все значения функции $y$ отрицательны ($y \le -25$), график целиком лежит ниже оси Ox. При $x > 0$ точки графика находятся в IV четверти ($x>0, y<0$), а при $x < 0$ — в III четверти ($x<0, y<0$). Следовательно, график функции расположен в третьей и четвертой координатных четвертях.
Ответ: в III и IV координатных четвертях.