Номер 13.12, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.12. Постройте схематический график и опишите свойства функции:

1) $y = 2(x - 2)^2 - 1;$

2) $y = -(x + 2)^2 + 4;$

3) $y = (x - 2.5)^2 - 6;$

4) $y = -2(x - 1)^2 + 3;$

5) $y = -3(x + 3)^2 - 2;$

6) $y = -0.5(x - 3)^2 + 2.$

1) $y = 2(x - 2)^2 - 1$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Функция задана в виде $y = a(x - m)^2 + n$.
Построение графика:
1. Коэффициент $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Так как $|a| > 1$, парабола "сжата" к оси симметрии (уже, чем $y=x^2$).
2. Координаты вершины $(m; n)$ равны $(2; -1)$.
3. Ось симметрии — вертикальная прямая $x = 2$.
4. Найдем точки пересечения с осями координат для более точного построения.
- С осью OY (при $x=0$): $y = 2(0 - 2)^2 - 1 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$. Точка пересечения $(0; 7)$.
- С осью OX (при $y=0$): $0 = 2(x - 2)^2 - 1 \implies 2(x - 2)^2 = 1 \implies (x - 2)^2 = \frac{1}{2} \implies x - 2 = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} \implies x = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки пересечения: $(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$ и $(2 + \frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$.

Схематический график функции:

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [-1; +\infty)$.
3. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.
4. Нули функции: $x_1 = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x_2 = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. Функция принимает наименьшее значение $y_{min} = -1$ при $x=2$. Наибольшего значения не существует.
6. Функция чётная/нечётная: общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветви направлены вверх. Ось симметрии $x=2$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-1; +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty; 2]$ и возрастает на $[2; +\infty)$. Нули функции: $x = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) $y = -(x + 2)^2 + 4$

Это квадратичная функция $y = a(x - m)^2 + n$.
Построение графика:
1. Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Так как $|a| = 1$, форма параболы такая же, как у $y=x^2$.
2. Координаты вершины $(m; n)$ равны $(-2; 4)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = -2$.
4. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = -(0 + 2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0$. Точка $(0; 0)$ - начало координат.
- С осью OX ($y=0$): $0 = -(x + 2)^2 + 4 \implies (x + 2)^2 = 4 \implies x + 2 = \pm 2$. Отсюда $x_1 = -2 - 2 = -4$ и $x_2 = -2 + 2 = 0$. Точки пересечения: $(-4; 0)$ и $(0; 0)$.

Схематический график функции:

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 4]$.
3. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; +\infty)$.
4. Нули функции: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$.
5. Функция принимает наибольшее значение $y_{max} = 4$ при $x=-2$. Наименьшего значения не существует.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-2, 4)$, ветви направлены вниз. Ось симметрии $x=-2$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 4]$. Функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и убывает на $[-2; +\infty)$. Нули функции: $x=-4, x=0$.

3) $y = (x - 2,5)^2 - 6$

Это квадратичная функция $y = a(x - m)^2 + n$.
Построение графика:
1. Коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины $(m; n)$ равны $(2,5; -6)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = 2,5$.
4. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = (0 - 2,5)^2 - 6 = 6,25 - 6 = 0,25$. Точка $(0; 0,25)$.
- С осью OX ($y=0$): $0 = (x - 2,5)^2 - 6 \implies (x - 2,5)^2 = 6 \implies x - 2,5 = \pm \sqrt{6}$. Отсюда $x = 2,5 \pm \sqrt{6}$. Точки пересечения: $(2,5 - \sqrt{6}; 0)$ и $(2,5 + \sqrt{6}; 0)$.

Схематический график функции:

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [-6; +\infty)$.
3. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 2,5]$ и возрастает на промежутке $[2,5; +\infty)$.
4. Нули функции: $x = 2,5 \pm \sqrt{6}$.
5. Функция принимает наименьшее значение $y_{min} = -6$ при $x=2,5$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(2,5; -6)$, ветви направлены вверх. Ось симметрии $x=2,5$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-6; +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty; 2,5]$ и возрастает на $[2,5; +\infty)$. Нули функции: $x = 2,5 \pm \sqrt{6}$.

4) $y = -2(x - 1)^2 + 3$

Это квадратичная функция $y = a(x - m)^2 + n$.
Построение графика:
1. Коэффициент $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины $(m; n)$ равны $(1; 3)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = 1$.
4. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = -2(0 - 1)^2 + 3 = -2 + 3 = 1$. Точка $(0; 1)$.
- С осью OX ($y=0$): $0 = -2(x - 1)^2 + 3 \implies 2(x - 1)^2 = 3 \implies (x - 1)^2 = 1,5 \implies x - 1 = \pm \sqrt{1,5}$. Отсюда $x = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$. Точки пересечения: $(1 - \frac{\sqrt{6}}{2}; 0)$ и $(1 + \frac{\sqrt{6}}{2}; 0)$.

Схематический график функции:

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 3]$.
3. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и убывает на промежутке $[1; +\infty)$.
4. Нули функции: $x = 1 \pm \sqrt{1,5}$.
5. Функция принимает наибольшее значение $y_{max} = 3$ при $x=1$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(1; 3)$, ветви направлены вниз. Ось симметрии $x=1$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 3]$. Функция возрастает на $(-\infty; 1]$ и убывает на $[1; +\infty)$. Нули функции: $x = 1 \pm \sqrt{1,5}$.

5) $y = -3(x + 3)^2 - 2$

Это квадратичная функция $y = a(x - m)^2 + n$.
Построение графика:
1. Коэффициент $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины $(m; n)$ равны $(-3; -2)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = -3$.
4. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = -3(0 + 3)^2 - 2 = -3 \cdot 9 - 2 = -29$. Точка $(0; -29)$.
- С осью OX ($y=0$): $0 = -3(x + 3)^2 - 2 \implies -3(x + 3)^2 = 2 \implies (x + 3)^2 = -\frac{2}{3}$. Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Значит, график не пересекает ось OX.

Схематический график функции:

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; -2]$.
3. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -3]$ и убывает на промежутке $[-3; +\infty)$.
4. Нули функции: отсутствуют.
5. Функция принимает наибольшее значение $y_{max} = -2$ при $x=-3$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-3; -2)$, ветви направлены вниз. Ось симметрии $x=-3$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; -2]$. Функция возрастает на $(-\infty; -3]$ и убывает на $[-3; +\infty)$. Нулей у функции нет.

6) $y = -0,5(x - 3)^2 + 2$

Это квадратичная функция $y = a(x - m)^2 + n$.
Построение графика:
1. Коэффициент $a = -0,5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Так как $|a| < 1$, парабола "расширена" (шире, чем $y=x^2$).
2. Координаты вершины $(m; n)$ равны $(3; 2)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = 3$.
4. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = -0,5(0 - 3)^2 + 2 = -0,5 \cdot 9 + 2 = -4,5 + 2 = -2,5$. Точка $(0; -2,5)$.
- С осью OX ($y=0$): $0 = -0,5(x - 3)^2 + 2 \implies 0,5(x - 3)^2 = 2 \implies (x - 3)^2 = 4 \implies x - 3 = \pm 2$. Отсюда $x_1 = 3 - 2 = 1$ и $x_2 = 3 + 2 = 5$. Точки пересечения: $(1; 0)$ и $(5; 0)$.

Схематический график функции:

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 2]$.
3. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$ и убывает на промежутке $[3; +\infty)$.
4. Нули функции: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
5. Функция принимает наибольшее значение $y_{max} = 2$ при $x=3$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(3; 2)$, ветви направлены вниз. Ось симметрии $x=3$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 2]$. Функция возрастает на $(-\infty; 3]$ и убывает на $[3; +\infty)$. Нули функции: $x=1, x=5$.