Номер 13.19, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.19. Постройте график, укажите множество значений, промежутки убывания и возрастания функции:

1) $y = |x^2 - 9|;$

2) $y = |24 - 6x^2|;$

3) $y = |x^2 + 3x|;$

4) $y = |-x^2 - 5x| + 2.$

1) $y = |x^2 - 9|$

Для построения графика функции $y = |x^2 - 9|$ сначала построим параболу $y_1 = x^2 - 9$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 9 единиц вниз по оси OY. Ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке $(0, -9)$. Парабола пересекает ось OX в точках, где $x^2 - 9 = 0$, то есть в $x = -3$ и $x = 3$.
Затем, согласно определению модуля, часть графика $y_1 = x^2 - 9$, которая лежит ниже оси OX (где $y_1 < 0$), симметрично отражается относительно оси OX. Часть графика, которая находится выше или на оси OX, остается без изменений. Таким образом, участок параболы на интервале $(-3, 3)$ отражается вверх, и вершина $(0, -9)$ переходит в точку $(0, 9)$.

Множество значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; -3]$ и $[0; 3]$.
Промежутки возрастания: $[-3; 0]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: Множество значений: $[0; +\infty)$; функция убывает на $(-\infty; -3]$ и $[0; 3]$, возрастает на $[-3; 0]$ и $[3; +\infty)$.

2) $y = |24 - 6x^2|$

Построение графика функции $y = |24 - 6x^2|$ аналогично предыдущему. Сначала строим параболу $y_1 = 24 - 6x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Вершина параболы находится в точке $x_v = -b/(2a) = 0$, $y_v = 24$. Точка вершины: $(0, 24)$. Нули функции: $24 - 6x^2 = 0 \Rightarrow 6x^2 = 24 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Применяем операцию модуля: части параболы, находящиеся ниже оси OX (при $x < -2$ и $x > 2$), отражаются симметрично относительно оси OX. Часть параболы на интервале $[-2, 2]$ остается на месте.

Множество значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$.
Промежутки возрастания: $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$.

Ответ: Множество значений: $[0; +\infty)$; функция убывает на $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, возрастает на $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$.

3) $y = |x^2 + 3x|$

Строим график по алгоритму. Сначала парабола $y_1 = x^2 + 3x$. Ветви вверх. Нули функции: $x(x+3)=0$, т.е. $x=0$ и $x=-3$. Вершина параболы: $x_v = -b/(2a) = -3/2 = -1.5$, $y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина в точке $(-1.5, -2.25)$.
Часть параболы на интервале $(-3, 0)$ лежит ниже оси OX, поэтому отражаем ее симметрично вверх. Вершина $(-1.5, -2.25)$ переходит в точку $(-1.5, 2.25)$, которая становится локальным максимумом.

Множество значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; -3]$ и $[-1.5; 0]$.
Промежутки возрастания: $[-3; -1.5]$ и $[0; +\infty)$.

Ответ: Множество значений: $[0; +\infty)$; функция убывает на $(-\infty; -3]$ и $[-1.5; 0]$, возрастает на $[-3; -1.5]$ и $[0; +\infty)$.

4) $y = |-x^2 - 5x| + 2$

Сначала упростим выражение: $|-x^2 - 5x| = |-(x^2 + 5x)| = |x^2 + 5x|$. Таким образом, функция имеет вид $y = |x^2 + 5x| + 2$.
Построение графика выполняется в два шага:
1. Строим график функции $y_1 = |x^2 + 5x|$. Для этого сначала рассматриваем параболу $y_2 = x^2 + 5x$. Её ветви направлены вверх, нули находятся в точках $x=0$ и $x=-5$. Вершина: $x_v = -5/2 = -2.5$, $y_v = (-2.5)^2 + 5(-2.5) = -6.25$. Часть параболы на интервале $(-5, 0)$ отражаем вверх. Получаем график $y_1$ с локальным максимумом в точке $(-2.5, 6.25)$.
2. Сдвигаем весь график $y_1$ на 2 единицы вверх по оси OY, чтобы получить искомый график $y = |x^2 + 5x| + 2$. Все точки графика смещаются на 2 единицы вверх.
Локальный максимум переместится из $(-2.5, 6.25)$ в точку $(-2.5, 8.25)$. Точки "излома" (локальные минимумы) переместятся из $(-5, 0)$ и $(0, 0)$ в точки $(-5, 2)$ и $(0, 2)$.

Множество значений функции: Минимальное значение функции равно 2. $E(y) = [2; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; -5]$ и $[-2.5; 0]$.
Промежутки возрастания: $[-5; -2.5]$ и $[0; +\infty)$.

Ответ: Множество значений: $[2; +\infty)$; функция убывает на $(-\infty; -5]$ и $[-2.5; 0]$, возрастает на $[-5; -2.5]$ и $[0; +\infty)$.