Номер 13.21, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Постройте графики функций (13.21–13.23):

13.21. 1) $y = \frac{2x^2}{x} - 3;$

2) $y = \frac{x^2}{3x} + 4;$

3) $y = \frac{2x^2 - 2}{x + 1} + 5;$

4) $y = \frac{-x^2 + 4}{x - 2} - 1.$

1)

Дана функция $y = \frac{2x^2}{x} - 3$.

Сначала найдем область определения функции. Так как в знаменателе находится переменная $x$, то $x$ не может быть равен нулю. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Далее упростим выражение для функции. При $x \neq 0$ мы можем сократить дробь:

$y = \frac{2x \cdot x}{x} - 3 = 2x - 3$.

Таким образом, мы получили линейную функцию $y = 2x - 3$, график которой — прямая. Однако, из-за ограничения в области определения, точка на этой прямой, соответствующая $x = 0$, должна быть исключена ("выколота").

Найдем координаты этой точки. Если $x = 0$, то $y = 2(0) - 3 = -3$.

Следовательно, точка $(0, -3)$ не принадлежит графику функции.

Для построения прямой найдем две любые другие точки, например:

При $x = 2$, $y = 2(2) - 3 = 1$. Точка $(2, 1)$.

При $x = -1$, $y = 2(-1) - 3 = -5$. Точка $(-1, -5)$.

График функции — это прямая, проходящая через точки $(2, 1)$ и $(-1, -5)$, с выколотой точкой $(0, -3)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2x-3$ с выколотой точкой $(0, -3)$.

2)

Дана функция $y = \frac{x^2}{3x} + 4$.

Область определения функции определяется условием $3x \neq 0$, то есть $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

При $x \neq 0$ упростим выражение:

$y = \frac{x}{3} + 4$ или $y = \frac{1}{3}x + 4$.

Это линейная функция, её график — прямая. Необходимо исключить точку, где $x=0$.

Найдем координаты выколотой точки: при $x = 0$, $y = \frac{1}{3}(0) + 4 = 4$.

Таким образом, точка $(0, 4)$ не принадлежит графику.

Для построения прямой найдем две точки:

При $x = 3$, $y = \frac{1}{3}(3) + 4 = 1 + 4 = 5$. Точка $(3, 5)$.

При $x = -3$, $y = \frac{1}{3}(-3) + 4 = -1 + 4 = 3$. Точка $(-3, 3)$.

График функции — это прямая, проходящая через точки $(3, 5)$ и $(-3, 3)$, с выколотой точкой $(0, 4)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = \frac{1}{3}x + 4$ с выколотой точкой $(0, 4)$.

3)

Дана функция $y = \frac{2x^2 - 2}{x + 1} + 5$.

Знаменатель дроби $x+1$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq -1$. Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Упростим выражение, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1) = 2(x - 1)(x + 1)$.

Теперь сократим дробь при $x \neq -1$:

$y = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x + 1} + 5 = 2(x - 1) + 5 = 2x - 2 + 5 = 2x + 3$.

Функция сводится к линейной $y = 2x + 3$ с ограничением $x \neq -1$.

Найдем координаты выколотой точки: при $x = -1$, $y = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$.

Точка $(-1, 1)$ не принадлежит графику.

Для построения прямой найдем две точки:

При $x = 0$, $y = 2(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.

При $x = 1$, $y = 2(1) + 3 = 5$. Точка $(1, 5)$.

График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(1, 5)$, с выколотой точкой $(-1, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2x+3$ с выколотой точкой $(-1, 1)$.

4)

Дана функция $y = \frac{-x^2 + 4}{x - 2} - 1$.

Область определения функции: знаменатель $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$. $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим выражение. Вынесем минус в числителе и применим формулу разности квадратов:

$-x^2 + 4 = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2)$.

При $x \neq 2$ сократим дробь:

$y = \frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 2} - 1 = -(x + 2) - 1 = -x - 2 - 1 = -x - 3$.

Мы получили линейную функцию $y = -x - 3$ с ограничением $x \neq 2$.

Найдем координаты выколотой точки: при $x = 2$, $y = -(2) - 3 = -5$.

Точка $(2, -5)$ не принадлежит графику.

Для построения прямой найдем две точки:

При $x = 0$, $y = -0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.

При $x = -3$, $y = -(-3) - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.

График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(-3, 0)$, с выколотой точкой $(2, -5)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=-x-3$ с выколотой точкой $(2, -5)$.