Номер 13.25, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.25. Постройте график функции $y = \frac{3}{x}$ и найдите точки ее пересечения с параболой:

1) $y = -2x^2 + 3$;

2) $y = -x^2 + 4x$;

3) $y = -2x^2 - 4x$;

4) $y = x^2 + 1,4$.

Для нахождения точек пересечения графиков двух функций, $y = f(x)$ и $y = g(x)$, необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} y = f(x) \\ y = g(x)\end{cases}$

Это эквивалентно решению уравнения $f(x) = g(x)$.

В данной задаче мы ищем точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ с различными параболами. График функции $y = \frac{3}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Оси координат являются ее асимптотами.

1)

Найдем точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ и параболы $y = -2x^2 + 3$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{3}{x} = -2x^2 + 3$

Так как $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:

$3 = -2x^3 + 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение:

$2x^3 - 3x + 3 = 0$

Это уравнение не имеет простых рациональных корней. Решим его графически и найдем приближенное значение.Парабола $y = -2x^2 + 3$ имеет ветви, направленные вниз, с вершиной в точке $(0, 3)$.Из графика видно, что существует одна точка пересечения в III четверти.

Анализ уравнения показывает, что есть только один действительный корень $x \approx -1.57$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{3}{-1.57} \approx -1.91$

Проверим по уравнению параболы: $y = -2(-1.57)^2 + 3 = -2(2.4649) + 3 = -4.9298 + 3 = -1.9298 \approx -1.93$.

Приближенные координаты точки пересечения: $(-1.57, -1.93)$.

Ответ: $(-1.57, -1.93)$.

2)

Найдем точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ и параболы $y = -x^2 + 4x$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{3}{x} = -x^2 + 4x$

$3 = -x^3 + 4x^2$

$x^3 - 4x^2 + 3 = 0$

Пробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (3): $\pm 1, \pm 3$.

При $x=1$: $1^3 - 4(1)^2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.

Разделим многочлен $x^3 - 4x^2 + 3$ на $(x-1)$:

$(x^3 - 4x^2 + 3) \div (x-1) = x^2 - 3x - 3$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 3 = 0$:

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9+12}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Мы получили три корня для $x$:

$x_1 = 1$

$x_2 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$

$x_3 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

$y_1 = \frac{3}{1} = 3$. Точка $(1, 3)$.

$y_2 = \frac{3}{(3+\sqrt{21})/2} = \frac{6}{3+\sqrt{21}} = \frac{6(3-\sqrt{21})}{9-21} = \frac{6(3-\sqrt{21})}{-12} = \frac{\sqrt{21}-3}{2}$. Точка $(\frac{3+\sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{21}-3}{2})$.

$y_3 = \frac{3}{(3-\sqrt{21})/2} = \frac{6}{3-\sqrt{21}} = \frac{6(3+\sqrt{21})}{9-21} = \frac{6(3+\sqrt{21})}{-12} = -\frac{3+\sqrt{21}}{2}$. Точка $(\frac{3-\sqrt{21}}{2}, -\frac{3+\sqrt{21}}{2})$.

Ответ: $(1, 3)$, $(\frac{3+\sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{21}-3}{2})$, $(\frac{3-\sqrt{21}}{2}, -\frac{3+\sqrt{21}}{2})$.

3)

Найдем точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ и параболы $y = -2x^2 - 4x$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{3}{x} = -2x^2 - 4x$

$3 = -2x^3 - 4x^2$

$2x^3 + 4x^2 + 3 = 0$

Это уравнение также не имеет простых рациональных корней. Парабола $y = -2x^2 - 4x$ имеет ветви вниз, вершина в точке $(-1, 2)$. Графический метод показывает одну точку пересечения.

Аналитическое исследование показывает, что есть один действительный корень $x \approx -2.28$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{3}{-2.28} \approx -1.316$

Проверим по уравнению параболы: $y = -2(-2.28)^2 - 4(-2.28) = -2(5.1984) + 9.12 = -10.3968 + 9.12 = -1.2768 \approx -1.28$.

Приближенные координаты точки пересечения: $(-2.28, -1.32)$.

Ответ: $(-2.28, -1.32)$.

4)

Найдем точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ и параболы $y = x^2 + 1.4$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{3}{x} = x^2 + 1.4$

$3 = x^3 + 1.4x$

$x^3 + 1.4x - 3 = 0$

Умножим на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби и упростить:

$5x^3 + 7x - 15 = 0$

Это уравнение также не имеет простых рациональных корней. Парабола $y = x^2 + 1.4$ имеет ветви вверх, вершина в точке $(0, 1.4)$. Графический метод показывает одну точку пересечения в I четверти.

Производная функции $f(x) = 5x^3 + 7x - 15$ равна $f'(x) = 15x^2 + 7$, что всегда положительно. Следовательно, функция возрастает и имеет только один действительный корень. Приближенное значение корня: $x \approx 1.13$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{3}{1.13} \approx 2.65$

Проверим по уравнению параболы: $y = (1.13)^2 + 1.4 = 1.2769 + 1.4 = 2.6769 \approx 2.68$.

Приближенные координаты точки пересечения: $(1.13, 2.67)$.

Ответ: $(1.13, 2.67)$.