Номер 13.24, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.24. Найдите c и постройте график функции $y = (x - 2)^2 - c$, если известно, что наименьшее значение функции равно:

1) -1;

2) 0;

3) 7,4;

4) -2,6;

5) 1,3;

6) $\pi$.

Дана функция $y = (x - 2)^2 - c$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при старшем члене (после раскрытия скобок) равен 1 (положительное число). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине параболы.

Выражение $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого выражения равно 0 и достигается при $x - 2 = 0$, то есть при $x = 2$.

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{min} = 0 - c = -c$. Координаты вершины параболы: $(2, -c)$.

Зная наименьшее значение функции $y_{min}$, мы можем найти параметр $c$ по формуле $c = -y_{min}$.

Для построения графика мы будем использовать тот факт, что график функции $y = (x - 2)^2 - c$ получается из графика базовой параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси Ох и на $-c$ (или $y_{min}$) единиц по оси Оy.

1) Наименьшее значение функции равно -1.

Найдем $c$: $y_{min} = -1$. Так как $y_{min} = -c$, то $-c = -1$, откуда $c = 1$.

Функция имеет вид: $y = (x - 2)^2 - 1$.

График этой функции — парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

Ответ: $c=1$.

2) Наименьшее значение функции равно 0.

Найдем $c$: $y_{min} = 0$. Так как $y_{min} = -c$, то $-c = 0$, откуда $c = 0$.

Функция имеет вид: $y = (x - 2)^2$.

График этой функции — парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$.

Ответ: $c=0$.

3) Наименьшее значение функции равно 7,4.

Найдем $c$: $y_{min} = 7.4$. Так как $y_{min} = -c$, то $-c = 7.4$, откуда $c = -7.4$.

Функция имеет вид: $y = (x - 2)^2 + 7.4$.

График этой функции — парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 7,4 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, 7.4)$.

Ответ: $c=-7.4$.

4) Наименьшее значение функции равно -2,6.

Найдем $c$: $y_{min} = -2.6$. Так как $y_{min} = -c$, то $-c = -2.6$, откуда $c = 2.6$.

Функция имеет вид: $y = (x - 2)^2 - 2.6$.

График этой функции — парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 2,6 единицы вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, -2.6)$.

Ответ: $c=2.6$.

5) Наименьшее значение функции равно 1,3.

Найдем $c$: $y_{min} = 1.3$. Так как $y_{min} = -c$, то $-c = 1.3$, откуда $c = -1.3$.

Функция имеет вид: $y = (x - 2)^2 + 1.3$.

График этой функции — парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 1,3 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, 1.3)$.

Ответ: $c=-1.3$.

6) Наименьшее значение функции равно $\pi$.

Найдем $c$: $y_{min} = \pi$. Так как $y_{min} = -c$, то $-c = \pi$, откуда $c = -\pi$.

Функция имеет вид: $y = (x - 2)^2 + \pi$. (Приближенно $y = (x-2)^2 + 3.14$).

График этой функции — парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на $\pi$ единиц вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, \pi)$.

Ответ: $c=-\pi$.