Номер 13.23, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.23. 1) $y = x^2 - 2x - (\sqrt{2x-4})^2$;

2) $y = x^2 - 3x - (\sqrt{3x-9})^2$;

3) $y = x^2 - 3x - \sqrt{(3x-9)^2}$;

4) $y = x^2 - 2x - \sqrt{(2x-4)^2}$.

1) $y = x^2 - 2x - (\sqrt{2x-4})^2$

Для того чтобы функция была определена, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

ОДЗ: $2x - 4 \ge 0$

$2x \ge 4$

$x \ge 2$

На этой области определения ($x \ge 2$) используем тождество $(\sqrt{a})^2 = a$.

$(\sqrt{2x-4})^2 = 2x-4$

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = x^2 - 2x - (2x-4) = x^2 - 2x - 2x + 4 = x^2 - 4x + 4$

Полученное выражение является полным квадратом:

$y = (x-2)^2$

Таким образом, функция имеет вид $y = (x-2)^2$ при $x \ge 2$.

Ответ: $y=(x-2)^2$ при $x \in [2; +\infty)$.

2) $y = x^2 - 3x - (\sqrt{3x-9})^2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

ОДЗ: $3x - 9 \ge 0$

$3x \ge 9$

$x \ge 3$

На ОДЗ ($x \ge 3$) справедливо тождество $(\sqrt{a})^2 = a$.

$(\sqrt{3x-9})^2 = 3x-9$

Подставляем упрощенное выражение в уравнение функции:

$y = x^2 - 3x - (3x-9) = x^2 - 3x - 3x + 9 = x^2 - 6x + 9$

Свернем полученное выражение в полный квадрат:

$y = (x-3)^2$

Итак, функция задается формулой $y = (x-3)^2$ при $x \ge 3$.

Ответ: $y=(x-3)^2$ при $x \in [3; +\infty)$.

3) $y = x^2 - 3x - \sqrt{(3x-9)^2}$

Подкоренное выражение $(3x-9)^2$ всегда неотрицательно, так как является квадратом. Следовательно, область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(3x-9)^2} = |3x-9|$

Функция принимает вид:

$y = x^2 - 3x - |3x-9|$

Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно.

$3x - 9 \ge 0 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$

В этом случае $|3x-9| = 3x-9$.

$y = x^2 - 3x - (3x-9) = x^2 - 3x - 3x + 9 = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно.

$3x - 9 < 0 \implies 3x < 9 \implies x < 3$

В этом случае $|3x-9| = -(3x-9) = 9-3x$.

$y = x^2 - 3x - (9-3x) = x^2 - 3x - 9 + 3x = x^2 - 9$

Объединяя оба случая, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} (x-3)^2, & \text{если } x \ge 3 \\ x^2 - 9, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} (x-3)^2, & \text{при } x \ge 3 \\ x^2 - 9, & \text{при } x < 3 \end{cases}$.

4) $y = x^2 - 2x - \sqrt{(2x-4)^2}$

Подкоренное выражение $(2x-4)^2$ является квадратом, поэтому оно всегда неотрицательно. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(2x-4)^2} = |2x-4|$

Таким образом, функция записывается как:

$y = x^2 - 2x - |2x-4|$

Для раскрытия модуля рассмотрим два случая.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно.

$2x - 4 \ge 0 \implies 2x \ge 4 \implies x \ge 2$

При этом условии $|2x-4| = 2x-4$.

$y = x^2 - 2x - (2x-4) = x^2 - 2x - 2x + 4 = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно.

$2x - 4 < 0 \implies 2x < 4 \implies x < 2$

При этом условии $|2x-4| = -(2x-4) = 4-2x$.

$y = x^2 - 2x - (4-2x) = x^2 - 2x - 4 + 2x = x^2 - 4$

Объединяя результаты, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} (x-2)^2, & \text{если } x \ge 2 \\ x^2 - 4, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} (x-2)^2, & \text{при } x \ge 2 \\ x^2 - 4, & \text{при } x < 2 \end{cases}$.