Номер 13.29, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.29. Выделите квадрат двучлена:

1) $2x^2 + 4x + 3$;

2) $x^2 + 4x - 5$;

3) $2x^2 - 4x + 3$;

4) $-x^2 - 1.4x + 0.6$.

1) Для того чтобы выделить квадрат двучлена из выражения $2x^2 + 4x + 3$, сначала вынесем общий множитель 2 за скобки из первых двух слагаемых:
$2x^2 + 4x + 3 = 2(x^2 + 2x) + 3$.
Теперь поработаем с выражением в скобках $x^2 + 2x$. Чтобы получить полный квадрат, мы должны использовать формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=x$, а удвоенное произведение $2ab = 2x$. Отсюда следует, что $2 \cdot x \cdot b = 2x$, значит $b=1$.
Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и одновременно вычтем 1 внутри скобок, чтобы не изменить значение выражения:
$2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3$.
Теперь сгруппируем первые три слагаемых в скобках, которые образуют полный квадрат:
$2((x^2 + 2x + 1) - 1) + 3 = 2((x+1)^2 - 1) + 3$.
Раскроем внешние скобки, умножив 2 на каждый член внутри них, и приведем подобные слагаемые:
$2(x+1)^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 2(x+1)^2 - 2 + 3 = 2(x+1)^2 + 1$.
Ответ: $2(x+1)^2 + 1$.

2) Рассмотрим выражение $x^2 + 4x - 5$. Коэффициент при $x^2$ равен 1, поэтому выносить ничего не нужно.
Сразу работаем с первыми двумя слагаемыми $x^2 + 4x$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, а $2ab=4x$, значит $2 \cdot x \cdot b = 4x$, откуда $b=2$.
Для полного квадрата нам нужно слагаемое $b^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4:
$x^2 + 4x - 5 = (x^2 + 4x + 4) - 4 - 5$.
Первые три слагаемых сворачиваются в квадрат двучлена $(x+2)^2$. Выполним вычитание:
$(x+2)^2 - 9$.
Ответ: $(x+2)^2 - 9$.

3) Для выражения $2x^2 - 4x + 3$ сначала вынесем коэффициент 2 за скобки из первых двух слагаемых:
$2x^2 - 4x + 3 = 2(x^2 - 2x) + 3$.
Теперь выделим полный квадрат из выражения в скобках $x^2 - 2x$. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=x$, а $2ab = 2x$, значит $b=1$.
Нам не хватает слагаемого $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 в скобках:
$2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$.
Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат:
$2((x^2 - 2x + 1) - 1) + 3 = 2((x-1)^2 - 1) + 3$.
Раскроем внешние скобки и упростим выражение:
$2(x-1)^2 - 2 + 3 = 2(x-1)^2 + 1$.
Ответ: $2(x-1)^2 + 1$.

4) Рассмотрим выражение $-x^2 - 1,4x + 0,6$. Вынесем коэффициент -1 за скобки из первых двух слагаемых:
$-x^2 - 1,4x + 0,6 = -(x^2 + 1,4x) + 0,6$.
Выделим полный квадрат в выражении $x^2 + 1,4x$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, а $2ab = 1,4x$, откуда $2 \cdot x \cdot b = 1,4x$, значит $b = 1,4 / 2 = 0,7$.
Для полного квадрата нужно добавить слагаемое $b^2 = 0,7^2 = 0,49$. Добавим и вычтем его в скобках:
$-(x^2 + 1,4x + 0,49 - 0,49) + 0,6$.
Сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат:
$-((x^2 + 1,4x + 0,49) - 0,49) + 0,6 = -((x+0,7)^2 - 0,49) + 0,6$.
Раскроем внешние скобки, меняя знаки, и приведем подобные слагаемые:
$-(x+0,7)^2 + 0,49 + 0,6 = -(x+0,7)^2 + 1,09$.
Ответ: $-(x+0,7)^2 + 1,09$.