Номер 14.5, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.5. 1) $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 2x - 2\frac{1}{3};$

2) $f(x) = 2x^2 - 10x + 1;$

3) $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - 3x - 3\frac{1}{3}.$

1) Для нахождения нулей функции $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 2x - 2\frac{1}{3}$ необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

Сначала преобразуем смешанную дробь $2\frac{1}{3}$ в неправильную: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Уравнение примет вид:

$\frac{1}{3}x^2 - 2x - \frac{7}{3} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на 3:

$3 \cdot \left(\frac{1}{3}x^2 - 2x - \frac{7}{3}\right) = 3 \cdot 0$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

Получили приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $\Delta = b^2 - 4ac$.

$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Корни уравнения находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1; 7$.

2) Для нахождения нулей функции $f(x) = 2x^2 - 10x + 1$ необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

$2x^2 - 10x + 1 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $\Delta = b^2 - 4ac$.

$\Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 100 - 8 = 92$

Корни уравнения находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{92}}{2 \cdot 2} = \frac{10 \pm \sqrt{4 \cdot 23}}{4} = \frac{10 \pm 2\sqrt{23}}{4}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{5 \pm \sqrt{23}}{2}$

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{23}}{2}; \frac{5 + \sqrt{23}}{2}$.

3) Для нахождения нулей функции $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - 3x - 3\frac{1}{3}$ необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

Сначала преобразуем смешанную дробь $3\frac{1}{3}$ в неправильную: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

Уравнение примет вид:

$\frac{2}{3}x^2 - 3x - \frac{10}{3} = 0$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на 3:

$3 \cdot \left(\frac{2}{3}x^2 - 3x - \frac{10}{3}\right) = 3 \cdot 0$

$2x^2 - 9x - 10 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $\Delta = b^2 - 4ac$.

$\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 81 + 80 = 161$

Корни уравнения находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:

$x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm \sqrt{161}}{4}$

Ответ: $\frac{9 - \sqrt{161}}{4}; \frac{9 + \sqrt{161}}{4}$.