Номер 14.8, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.8. Постройте график функции $f(x) = -2x^2 - x + 5$ и, используя график, найдите:

1) значение функции при $x = -0,3$; $1,2$; $3$;

2) значение аргумента $x$, при котором $f(x) = 5$; $2$; $-1$;

3) нули функции, промежутки знакопостоянства функции;

4) вершину параболы и ось симметрии.

Для построения графика функции $f(x) = -2x^2 - x + 5$ и нахождения требуемых значений, выполним следующие шаги.Сначала построим график. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент $a = -2$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

Для построения найдем ключевые точки:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ вычисляются по формулам:
   $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-2)} = -0.25$.
   $y_v = f(x_v) = -2(-0.25)^2 - (-0.25) + 5 = -2(0.0625) + 0.25 + 5 = -0.125 + 5.25 = 5.125$.
   Таким образом, вершина находится в точке $(-0.25; 5.125)$.
2. Ось симметрии. Это вертикальная прямая, проходящая через вершину: $x = -0.25$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   С осью OY (при $x=0$): $f(0) = -2(0)^2 - 0 + 5 = 5$. Точка $(0; 5)$.
   С осью OX (нули функции, при $f(x)=0$): $-2x^2 - x + 5 = 0$. Решим уравнение $2x^2 + x - 5 = 0$.
   $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 41$.
   $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{4}$.
   $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{4} \approx -1.85$. Точка $(-1.85; 0)$.
   $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{4} \approx 1.35$. Точка $(1.35; 0)$.
4. Дополнительные точки.
   • $f(1) = -2(1)^2 - 1 + 5 = 2$. Точка $(1; 2)$.
   • $f(-2) = -2(-2)^2 - (-2) + 5 = -1$. Точка $(-2; -1)$.
   • $f(2) = -2(2)^2 - 2 + 5 = -5$. Точка $(2; -5)$.
   • $f(-3) = -2(-3)^2 - (-3) + 5 = -16$. Точка $(-3; -16)$.

На основе этих данных строим график функции.

Теперь, используя график, ответим на вопросы задачи.

1) значение функции при x = -0,3; 1,2; 3;

На графике находим точки, абсциссы которых равны заданным значениям (отмечены зеленым цветом). Ординаты этих точек будут искомыми значениями функции.

• При $x = -0,3$, значение функции $y \approx 5,1$.
• При $x = 1,2$, значение функции $y \approx 0,9$.
• При $x = 3$, значение функции $y = -16$.

Ответ: При $x = -0,3$, $f(x) \approx 5,1$; при $x = 1,2$, $f(x) \approx 0,9$; при $x = 3$, $f(x) = -16$.

2) значение аргумента x, при котором f(x) = 5; 2; -1;

На графике проводим горизонтальные прямые $y=5$, $y=2$ и $y=-1$ (отмечены фиолетовым цветом). Абсциссы точек пересечения этих прямых с параболой являются искомыми значениями аргумента.

• Прямая $y=5$ пересекает график в точках с абсциссами $x = -0,5$ и $x = 0$.
• Прямая $y=2$ пересекает график в точках с абсциссами $x = -1,5$ и $x = 1$.
• Прямая $y=-1$ пересекает график в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 1,5$.

Ответ: $f(x)=5$ при $x=-0,5$ и $x=0$; $f(x)=2$ при $x=-1,5$ и $x=1$; $f(x)=-1$ при $x=-2$ и $x=1,5$.

3) нули функции, промежутки знакопостоянства функции;

Нули функции – это значения $x$, при которых график пересекает ось OX. Из графика видно, что это происходит примерно в точках $x \approx -1,85$ и $x \approx 1,35$. Это подтверждается расчетом корней уравнения $-2x^2 - x + 5 = 0$.
Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак.

• $f(x) > 0$ (график выше оси OX) при $x \in (-1,85; 1,35)$.
• $f(x) < 0$ (график ниже оси OX) при $x \in (-\infty; -1,85) \cup (1,35; \infty)$.

Ответ: Нули функции: $x \approx -1,85$ и $x \approx 1,35$. Промежутки знакопостоянства: $f(x)>0$ при $x \in (-1,85; 1,35)$; $f(x)<0$ при $x \in (-\infty; -1,85) \cup (1,35; \infty)$.

4) вершину параболы и ось симметрии.

Эти параметры были найдены на этапе построения графика.

• Вершина параболы (самая высокая точка на графике) имеет координаты $(-0,25; 5,125)$. На графике она отмечена красной точкой.
• Ось симметрии — это вертикальная прямая, делящая параболу на две симметричные части. Ее уравнение $x = -0,25$. На графике она показана красной пунктирной линией.

Ответ: Вершина параболы: $(-0,25; 5,125)$. Ось симметрии: $x = -0,25$.