Номер 14.12, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.12. Постройте график функции $f(x) = -2x^2 - x + 7$ и, используя график, найдите:

1) вершину параболы и ось симметрии;

2) наибольшее значение и множество значений функции;

3) промежутки возрастания и убывания функции.

Для построения графика функции $f(x) = -2x^2 - x + 7$ необходимо сначала проанализировать ее свойства. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -2 < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем ключевые точки для построения графика.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

Абсцисса вершины находится по формуле $x_v = -b / (2a)$. Для данной функции $a = -2$, $b = -1$.

$x_v = -(-1) / (2 \cdot (-2)) = 1 / (-4) = -0.25$.

Ордината вершины — это значение функции в точке $x_v$:

$y_v = f(-0.25) = -2(-0.25)^2 - (-0.25) + 7 = -2(0.0625) + 0.25 + 7 = -0.125 + 0.25 + 7 = 7.125$.

Вершина параболы находится в точке $(-0.25, 7.125)$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью OY ($x=0$): $f(0) = -2(0)^2 - 0 + 7 = 7$. Точка $(0, 7)$.

С осью OX ($f(x)=0$): $-2x^2 - x + 7 = 0$. Умножим на -1: $2x^2 + x - 7 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4(2)(-7) = 1 + 56 = 57$.

$x_{1,2} = (-1 \pm \sqrt{57}) / 4$.

$x_1 \approx (-1 - 7.55) / 4 \approx -2.14$, $x_2 \approx (-1 + 7.55) / 4 \approx 1.64$.

Точки $(\approx-2.14, 0)$ и $(\approx1.64, 0)$.

Дополнительные точки:

Используя симметрию относительно оси $x = -0.25$, найдем симметричные точки:

$f(1) = -2(1)^2 - 1 + 7 = 4$. Точка $(1, 4)$. Симметричная ей точка $(-1.5, 4)$.

$f(2) = -2(2)^2 - 2 + 7 = -3$. Точка $(2, -3)$. Симметричная ей точка $(-2.5, -3)$.

График функции $f(x) = -2x^2 - x + 7$:

Используя график и вычисления, ответим на поставленные вопросы.

1) вершину параболы и ось симметрии;
Вершина параболы, являющаяся ее точкой максимума, была вычислена ранее. На графике она отмечена красным цветом. Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину (на графике — красная пунктирная линия).
Ответ: вершина параболы: $(-0.25, 7.125)$; ось симметрии: $x = -0.25$.

2) наибольшее значение и множество значений функции;
Так как ветви параболы направлены вниз, ее наибольшее значение достигается в вершине и равно ординате вершины. Множество значений функции — это все значения, которые принимает $y$, от минус бесконечности до этого максимума.
Ответ: наибольшее значение: $7.125$; множество значений функции: $E(f) = (-\infty, 7.125]$.

3) промежутки возрастания и убывания функции.
Функция возрастает на промежутке, где график идет вверх (слева направо), и убывает, где график идет вниз. Это определяется положением относительно оси симметрии.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -0.25]$; функция убывает на промежутке $[-0.25, +\infty)$.