Номер 14.7, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.7. 1) $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 - 2x + 4\frac{1}{3}$;

2) $f(x) = -\frac{2}{5}x^2 - 2x + \frac{1}{5}$;

3) $f(x) = -\frac{2}{3}x^2 - 3x + 3\frac{1}{3}$.

1) Дана функция $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 - 2x + 4\frac{1}{3}$.

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$. Перепишем смешанную дробь в виде неправильной: $4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$. Таким образом, $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 - 2x + \frac{13}{3}$. Коэффициенты: $a = -\frac{1}{3}$, $b = -2$, $c = \frac{13}{3}$.

Графиком функции является парабола. Так как коэффициент $a = -\frac{1}{3} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = -\frac{-2}{-\frac{2}{3}} = -3$.

Ордината вершины: $y_v = f(x_v) = f(-3) = -\frac{1}{3}(-3)^2 - 2(-3) + \frac{13}{3} = -\frac{1}{3} \cdot 9 + 6 + \frac{13}{3} = -3 + 6 + \frac{13}{3} = 3 + \frac{13}{3} = \frac{9+13}{3} = \frac{22}{3}$.

Итак, вершина параболы находится в точке $(-3, \frac{22}{3})$. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = -3$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Пересечение с осью OY (x=0): $f(0) = -\frac{1}{3}(0)^2 - 2(0) + \frac{13}{3} = \frac{13}{3}$. Точка пересечения: $(0, \frac{13}{3})$.

Пересечение с осью OX (y=0), то есть корни функции. Решим уравнение $f(x) = 0$:
$-\frac{1}{3}x^2 - 2x + \frac{13}{3} = 0$.
Умножим обе части на -3, чтобы избавиться от дробей: $x^2 + 6x - 13 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 36 + 52 = 88$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{88}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{22}}{2} = -3 \pm \sqrt{22}$.
Точки пересечения с осью OX: $(-3 - \sqrt{22}, 0)$ и $(-3 + \sqrt{22}, 0)$.

Промежутки знакопостоянства: так как ветви параболы направлены вниз, функция положительна между корнями и отрицательна вне этого интервала.
$f(x) > 0$ при $x \in (-3 - \sqrt{22}, -3 + \sqrt{22})$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -3 - \sqrt{22}) \cup (-3 + \sqrt{22}, \infty)$.

Промежутки монотонности: функция возрастает до вершины и убывает после нее.
Функция возрастает на промежутке $(-\infty, -3)$.
Функция убывает на промежутке $(-3, \infty)$.

Область значений функции: $(-\infty, y_v] = (-\infty, \frac{22}{3}]$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина находится в точке $(-3, \frac{22}{3})$. Ось симметрии: $x = -3$. Корни функции: $x_1 = -3 - \sqrt{22}$, $x_2 = -3 + \sqrt{22}$. Точка пересечения с осью OY: $(0, \frac{13}{3})$. Функция возрастает на $(-\infty, -3)$ и убывает на $(-3, \infty)$. Область значений: $(-\infty, \frac{22}{3}]$.

2) Дана функция $f(x) = -\frac{2}{5}x^2 - 2x + \frac{1}{5}$.

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -\frac{2}{5}$, $b = -2$, $c = \frac{1}{5}$.

Графиком является парабола. Так как $a = -\frac{2}{5} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-\frac{2}{5})} = -\frac{-2}{-\frac{4}{5}} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$.

Ордината вершины: $y_v = f(-\frac{5}{2}) = -\frac{2}{5}(-\frac{5}{2})^2 - 2(-\frac{5}{2}) + \frac{1}{5} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{4} + 5 + \frac{1}{5} = -\frac{5}{2} + 5 + \frac{1}{5} = \frac{5}{2} + \frac{1}{5} = \frac{25+2}{10} = \frac{27}{10}$.

Вершина параболы: $(-\frac{5}{2}, \frac{27}{10})$. Ось симметрии: $x = -\frac{5}{2}$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Пересечение с осью OY (x=0): $f(0) = \frac{1}{5}$. Точка пересечения: $(0, \frac{1}{5})$.

Пересечение с осью OX (y=0). Решим уравнение $-\frac{2}{5}x^2 - 2x + \frac{1}{5} = 0$.
Умножим обе части на -5: $2x^2 + 10x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 100 + 8 = 108$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{108}}{4} = \frac{-10 \pm 6\sqrt{3}}{4} = \frac{-5 \pm 3\sqrt{3}}{2}$.
Точки пересечения с осью OX: $(\frac{-5 - 3\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $(\frac{-5 + 3\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (\frac{-5 - 3\sqrt{3}}{2}, \frac{-5 + 3\sqrt{3}}{2})$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, \frac{-5 - 3\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{-5 + 3\sqrt{3}}{2}, \infty)$.

Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty, -\frac{5}{2})$ и убывает на $(-\frac{5}{2}, \infty)$.

Область значений функции: $(-\infty, \frac{27}{10}]$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина находится в точке $(-\frac{5}{2}, \frac{27}{10})$. Ось симметрии: $x = -\frac{5}{2}$. Корни функции: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm 3\sqrt{3}}{2}$. Точка пересечения с осью OY: $(0, \frac{1}{5})$. Функция возрастает на $(-\infty, -\frac{5}{2})$ и убывает на $(-\frac{5}{2}, \infty)$. Область значений: $(-\infty, \frac{27}{10}]$.

3) Дана функция $f(x) = -\frac{2}{3}x^2 - 3x + 3\frac{1}{3}$.

Перепишем функцию: $f(x) = -\frac{2}{3}x^2 - 3x + \frac{10}{3}$. Коэффициенты: $a = -\frac{2}{3}$, $b = -3$, $c = \frac{10}{3}$.

Графиком является парабола. Так как $a = -\frac{2}{3} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-\frac{2}{3})} = -\frac{-3}{-\frac{4}{3}} = -\frac{9}{4}$.

Ордината вершины: $y_v = f(-\frac{9}{4}) = -\frac{2}{3}(-\frac{9}{4})^2 - 3(-\frac{9}{4}) + \frac{10}{3} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{81}{16} + \frac{27}{4} + \frac{10}{3} = -\frac{27}{8} + \frac{27}{4} + \frac{10}{3} = \frac{-81 + 162 + 80}{24} = \frac{161}{24}$.

Вершина параболы: $(-\frac{9}{4}, \frac{161}{24})$. Ось симметрии: $x = -\frac{9}{4}$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

Пересечение с осью OY (x=0): $f(0) = \frac{10}{3}$. Точка пересечения: $(0, \frac{10}{3})$.

Пересечение с осью OX (y=0). Решим уравнение $-\frac{2}{3}x^2 - 3x + \frac{10}{3} = 0$.
Умножим обе части на -3: $2x^2 + 9x - 10 = 0$.
Дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 81 + 80 = 161$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{161}}{4}$.
Точки пересечения с осью OX: $(\frac{-9 - \sqrt{161}}{4}, 0)$ и $(\frac{-9 + \sqrt{161}}{4}, 0)$.

Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (\frac{-9 - \sqrt{161}}{4}, \frac{-9 + \sqrt{161}}{4})$.
$f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, \frac{-9 - \sqrt{161}}{4}) \cup (\frac{-9 + \sqrt{161}}{4}, \infty)$.

Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty, -\frac{9}{4})$ и убывает на $(-\frac{9}{4}, \infty)$.

Область значений функции: $(-\infty, \frac{161}{24}]$.

Ответ: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина находится в точке $(-\frac{9}{4}, \frac{161}{24})$. Ось симметрии: $x = -\frac{9}{4}$. Корни функции: $x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{161}}{4}$. Точка пересечения с осью OY: $(0, \frac{10}{3})$. Функция возрастает на $(-\infty, -\frac{9}{4})$ и убывает на $(-\frac{9}{4}, \infty)$. Область значений: $(-\infty, \frac{161}{24}]$.