Номер 14.4, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выделив квадрат двучлена, постройте графики функций f(x) (14.4–14.7):

14.4. 1) $f(x) = 2x^2 + 2x - 4$;

2) $f(x) = 3x^2 - x - 5$;

3) $f(x) = 4x^2 - x - 2$.

1) f(x) = 2x² + 2x - 4;
Для построения графика функции выделим полный квадрат. Это позволит нам представить функцию в виде $a(x-h)² + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.
1. Вынесем коэффициент 2 за скобки у членов, содержащих $x$:
$f(x) = 2(x² + x) - 4$
2. Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем квадрат половины коэффициента при $x$. Коэффициент при $x$ равен 1, его половина — $1/2$, а квадрат половины — $(1/2)² = 1/4$.
$f(x) = 2(x² + x + 1/4 - 1/4) - 4$
3. Свернем полный квадрат по формуле $(a+b)² = a² + 2ab + b²$:
$f(x) = 2((x + 1/2)² - 1/4) - 4$
4. Раскроем скобки и упростим выражение:
$f(x) = 2(x + 1/2)² - 2 \cdot (1/4) - 4$
$f(x) = 2(x + 1/2)² - 1/2 - 4$
$f(x) = 2(x + 1/2)² - 9/2$
Итак, мы получили функцию в виде $f(x) = 2(x - (-1/2))² - 4.5$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент $a=2 > 0$). Вершина параболы находится в точке с координатами $(h, k) = (-1/2, -9/2)$ или $(-0.5, -4.5)$.
График этой функции можно получить из графика базовой параболы $y = 2x²$ путем сдвига на $0.5$ единиц влево по оси $Ox$ и на $4.5$ единиц вниз по оси $Oy$.

Ответ: $f(x) = 2(x + 1/2)² - 9/2$.

2) f(x) = 3x² - x - 5;
Выделим полный квадрат для данной функции.
1. Вынесем коэффициент 3 за скобки:
$f(x) = 3(x² - 1/3 x) - 5$
2. Коэффициент при $x$ равен $-1/3$. Его половина — $-1/6$, квадрат половины — $(-1/6)² = 1/36$. Прибавим и вычтем $1/36$ в скобках.
$f(x) = 3(x² - 1/3 x + 1/36 - 1/36) - 5$
3. Свернем полный квадрат по формуле $(a-b)² = a² - 2ab + b²$ (здесь $2ab = 2 \cdot x \cdot 1/6 = 1/3 x$):
$f(x) = 3((x - 1/6)² - 1/36) - 5$
4. Раскроем скобки и упростим:
$f(x) = 3(x - 1/6)² - 3 \cdot (1/36) - 5$
$f(x) = 3(x - 1/6)² - 1/12 - 5$
$f(x) = 3(x - 1/6)² - 1/12 - 60/12$
$f(x) = 3(x - 1/6)² - 61/12$
Получили параболу с ветвями вверх ($a=3 > 0$). Вершина находится в точке $(h, k) = (1/6, -61/12)$. Приближенные значения: $(0.17, -5.08)$.
График этой функции можно получить из графика $y = 3x²$ сдвигом на $1/6$ единиц вправо по оси $Ox$ и на $61/12$ единиц вниз по оси $Oy$.

Ответ: $f(x) = 3(x - 1/6)² - 61/12$.

3) f(x) = 4x² - x - 2.
Выделим полный квадрат.
1. Вынесем коэффициент 4 за скобки:
$f(x) = 4(x² - 1/4 x) - 2$
2. Коэффициент при $x$ равен $-1/4$. Его половина — $-1/8$, квадрат половины — $(-1/8)² = 1/64$. Прибавим и вычтем $1/64$ в скобках.
$f(x) = 4(x² - 1/4 x + 1/64 - 1/64) - 2$
3. Свернем полный квадрат по формуле $(a-b)² = a² - 2ab + b²$ (здесь $2ab = 2 \cdot x \cdot 1/8 = 1/4 x$):
$f(x) = 4((x - 1/8)² - 1/64) - 2$
4. Раскроем скобки и упростим:
$f(x) = 4(x - 1/8)² - 4 \cdot (1/64) - 2$
$f(x) = 4(x - 1/8)² - 1/16 - 2$
$f(x) = 4(x - 1/8)² - 1/16 - 32/16$
$f(x) = 4(x - 1/8)² - 33/16$
Получили параболу с ветвями вверх ($a=4 > 0$). Вершина находится в точке $(h, k) = (1/8, -33/16)$. Приближенные значения: $(0.125, -2.0625)$.
График этой функции можно получить из графика $y = 4x²$ сдвигом на $1/8$ единиц вправо по оси $Ox$ и на $33/16$ единиц вниз по оси $Oy$.

Ответ: $f(x) = 4(x - 1/8)² - 33/16$.