Номер 14.11, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.11. Постройте график функции $f(x) = 2x^2 - 6x + 5$ и, используя график, найдите:

1) вершину параболы и ось симметрии;

2) наименьшее значение и множество значений функции;

3) промежутки возрастания и убывания функции.

Для построения графика функции $f(x) = 2x^2 - 6x + 5$ определим его основные характеристики. Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент $a=2$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

1. Найдём вершину параболы.
Координаты вершины $(x_в, y_в)$ вычисляются по формулам:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
$y_в = f(x_в) = f(1.5) = 2 \cdot (1.5)^2 - 6 \cdot 1.5 + 5 = 2 \cdot 2.25 - 9 + 5 = 4.5 - 9 + 5 = 0.5$
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1.5, 0.5)$.

2. Найдём точки пересечения с осями координат и дополнительные точки.
- Ось симметрии параболы проходит через вершину, её уравнение $x = 1.5$.
- Точка пересечения с осью OY (при $x=0$): $f(0) = 2 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
- Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4$. Так как $D < 0$, парабола не пересекает ось OX.
- Найдём симметричные точки относительно оси $x = 1.5$.Точке $(0, 5)$ симметрична точка $(3, 5)$.При $x=1$, $f(1) = 2 - 6 + 5 = 1$. Точке $(1, 1)$ симметрична точка $(2, 1)$.

Составим таблицу значений для построения:
x011.523
y510.515

Построим график функции:

Используя построенный график, ответим на вопросы задачи.

1) вершину параболы и ось симметрии;
На графике видно, что самая низкая точка параболы, её вершина, имеет координаты $(1.5, 0.5)$. Вертикальная прямая, проходящая через эту точку и делящая параболу на две симметричные ветви, является осью симметрии. Её уравнение $x = 1.5$.
Ответ: вершина параболы: $(1.5, 0.5)$, ось симметрии: $x = 1.5$.

2) наименьшее значение и множество значений функции;
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция достигает своего наименьшего значения в вершине. Из графика видно, что наименьшее значение функции (минимальная ордината) равно $0.5$. Функция может принимать любые значения, которые не меньше этого числа.
Ответ: наименьшее значение функции: $y_{min} = 0.5$; множество значений функции: $E(f) = [0.5, +\infty)$.

3) промежутки возрастания и убывания функции.
По графику видно, что слева от вершины (при $x < 1.5$) график функции "идёт вниз", то есть функция убывает. Справа от вершины (при $x > 1.5$) график "идёт вверх", то есть функция возрастает. Точка $x=1.5$ является точкой минимума.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[1.5, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 1.5]$.