Номер 14.13, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Постройте график и опишите свойства функции (14.13–14.17):

14.13. 1) $f(x) = -x^2 - 4x + 6$;

2) $f(x) = -2x^2 - 4x + 1$;

3) $f(x) = -3x^2 - x + 2$.

1) f(x) = -x² - 4x + 6

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (a = -1), что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot (-1)) = 4 / (-2) = -2$.
Ордината вершины: $y_0 = f(x_0) = f(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 6 = -4 + 8 + 6 = 10$.
Вершина находится в точке $(-2; 10)$.

2. Ось симметрии параболы:
Прямая $x = -2$.

3. Точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (x=0): $f(0) = -0^2 - 4(0) + 6 = 6$. Точка пересечения $(0; 6)$.
С осью Ox (y=0): $-x^2 - 4x + 6 = 0$. Умножим на -1: $x^2 + 4x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-6) = 16 + 24 = 40$.
Корни: $x_{1,2} = (-4 \pm \sqrt{40}) / 2 = (-4 \pm 2\sqrt{10}) / 2 = -2 \pm \sqrt{10}$.
$x_1 = -2 - \sqrt{10} \approx -5.16$, $x_2 = -2 + \sqrt{10} \approx 1.16$.
Точки пересечения $(-2 - \sqrt{10}; 0)$ и $(-2 + \sqrt{10}; 0)$.

4. Дополнительные точки для построения графика:
Найдем точку, симметричную точке $(0; 6)$ относительно оси симметрии $x=-2$. Её абсцисса $x = -4$. Значение функции $f(-4) = -(-4)^2 - 4(-4) + 6 = -16 + 16 + 6 = 6$. Точка $(-4; 6)$.
Возьмем $x=1$: $f(1) = -1^2 - 4(1) + 6 = 1$. Точка $(1; 1)$.

График функции f(x) = -x² - 4x + 6:

Свойства функции f(x) = -x² - 4x + 6:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 10]$.
3. Нули функции: $x_1 = -2 - \sqrt{10}$, $x_2 = -2 + \sqrt{10}$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-2 - \sqrt{10}; -2 + \sqrt{10})$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{10}) \cup (-2 + \sqrt{10}; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и убывает на $[-2; +\infty)$.
6. Точка максимума: $x_{max} = -2$, максимальное значение $y_{max} = 10$.
7. Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

Ответ: Построен график параболы с вершиной в точке (-2; 10), ветвями вниз. Свойства функции: $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = (-\infty; 10]$, нули $x = -2 \pm \sqrt{10}$, возрастает на $(-\infty; -2]$, убывает на $[-2; +\infty)$, $y_{max} = 10$.

2) f(x) = -2x² - 4x + 1

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2 (a = -2), что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot (-2)) = 4 / (-4) = -1$.
Ордината вершины: $y_0 = f(x_0) = f(-1) = -2(-1)^2 - 4(-1) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3$.
Вершина находится в точке $(-1; 3)$.

2. Ось симметрии параболы:
Прямая $x = -1$.

3. Точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (x=0): $f(0) = -2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$. Точка пересечения $(0; 1)$.
С осью Ox (y=0): $-2x^2 - 4x + 1 = 0$. Умножим на -1: $2x^2 + 4x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(2)(-1) = 16 + 8 = 24$.
Корни: $x_{1,2} = (-4 \pm \sqrt{24}) / (2 \cdot 2) = (-4 \pm 2\sqrt{6}) / 4 = (-2 \pm \sqrt{6}) / 2$.
$x_1 = (-2 - \sqrt{6}) / 2 \approx -2.22$, $x_2 = (-2 + \sqrt{6}) / 2 \approx 0.22$.
Точки пересечения $( \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}; 0)$ и $(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}; 0)$.

4. Дополнительные точки для построения графика:
Точка, симметричная точке $(0; 1)$ относительно оси $x=-1$, имеет абсциссу $x = -2$. Значение функции $f(-2) = -2(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$. Точка $(-2; 1)$.
Возьмем $x=1$: $f(1) = -2(1)^2 - 4(1) + 1 = -5$. Точка $(1; -5)$.

График функции f(x) = -2x² - 4x + 1:

Свойства функции f(x) = -2x² - 4x + 1:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 3]$.
3. Нули функции: $x = (-2 \pm \sqrt{6}) / 2$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in ( \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}; \frac{-2 + \sqrt{6}}{2} )$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и убывает на $[-1; +\infty)$.
6. Точка максимума: $x_{max} = -1$, максимальное значение $y_{max} = 3$.
7. Функция общего вида.

Ответ: Построен график параболы с вершиной в точке (-1; 3), ветвями вниз. Свойства функции: $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = (-\infty; 3]$, нули $x = (-2 \pm \sqrt{6}) / 2$, возрастает на $(-\infty; -1]$, убывает на $[-1; +\infty)$, $y_{max} = 3$.

3) f(x) = -3x² - x + 2

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -3 (a = -3), что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.

1. Координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-1) / (2 \cdot (-3)) = 1 / (-6) = -1/6$.
Ордината вершины: $y_0 = f(-1/6) = -3(-1/6)^2 - (-1/6) + 2 = -3/36 + 1/6 + 2 = -1/12 + 2/12 + 24/12 = 25/12$.
Вершина находится в точке $(-1/6; 25/12)$, что примерно равно $(-0.17; 2.08)$.

2. Ось симметрии параболы:
Прямая $x = -1/6$.

3. Точки пересечения с осями координат:
С осью Oy (x=0): $f(0) = -3(0)^2 - 0 + 2 = 2$. Точка пересечения $(0; 2)$.
С осью Ox (y=0): $-3x^2 - x + 2 = 0$. Умножим на -1: $3x^2 + x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25$.
Корни: $x_{1,2} = (-1 \pm \sqrt{25}) / (2 \cdot 3) = (-1 \pm 5) / 6$.
$x_1 = (-1 - 5) / 6 = -1$, $x_2 = (-1 + 5) / 6 = 4/6 = 2/3$.
Точки пересечения $(-1; 0)$ и $(2/3; 0)$.

4. Дополнительные точки для построения графика:
Точка, симметричная точке $(0; 2)$ относительно оси $x=-1/6$, имеет абсциссу $x = -1/3$. Значение функции $f(-1/3) = -3(-1/3)^2 - (-1/3) + 2 = -3/9 + 1/3 + 2 = -1/3 + 1/3 + 2 = 2$. Точка $(-1/3; 2)$.
Возьмем $x=1$: $f(1) = -3(1)^2 - 1 + 2 = -2$. Точка $(1; -2)$.

График функции f(x) = -3x² - x + 2:

Свойства функции f(x) = -3x² - x + 2:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 25/12]$.
3. Нули функции: $x_1 = -1$, $x_2 = 2/3$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-1; 2/3)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (2/3; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; -1/6]$ и убывает на $[-1/6; +\infty)$.
6. Точка максимума: $x_{max} = -1/6$, максимальное значение $y_{max} = 25/12$.
7. Функция общего вида.

Ответ: Построен график параболы с вершиной в точке (-1/6; 25/12), ветвями вниз. Свойства функции: $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = (-\infty; 25/12]$, нули $x_1=-1, x_2=2/3$, возрастает на $(-\infty; -1/6]$, убывает на $[-1/6; +\infty)$, $y_{max} = 25/12$.