Номер 14.20, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.20. 1) $y = -3(x + 3)^2 + 3;$

2) $y = 2(x - 3)^2 - 4;$

3) $y = -\frac{4}{5}(x + 3)^2 + 2\frac{1}{8}.$

1) $y = -3(x + 3)^2 + 3$

Данная функция является квадратичной, и её уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы. Для анализа функции найдем ее ключевые характеристики.

1. Определение коэффициентов и направления ветвей.

Сравнивая уравнение $y = -3(x + 3)^2 + 3$ с общей формой $y = a(x - h)^2 + k$, находим коэффициенты: $a = -3$, $h = -3$, $k = 3$. Поскольку коэффициент $a = -3$ отрицательный ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины и оси симметрии.

Координаты вершины параболы определяются как $(h, k)$. Таким образом, вершина находится в точке $(-3, 3)$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, и ее уравнение $x = h$, то есть $x = -3$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (OY), подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y(0) = -3(0 + 3)^2 + 3 = -3 \cdot 3^2 + 3 = -3 \cdot 9 + 3 = -27 + 3 = -24$.

Следовательно, парабола пересекает ось OY в точке $(0, -24)$.

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (OX), приравняем $y$ к нулю и решим уравнение:

$0 = -3(x + 3)^2 + 3$

$3(x + 3)^2 = 3$

$(x + 3)^2 = 1$

$x + 3 = \pm\sqrt{1}$

$x + 3 = 1$ или $x + 3 = -1$

$x_1 = 1 - 3 = -2$

$x_2 = -1 - 3 = -4$

Следовательно, парабола пересекает ось OX в точках $(-2, 0)$ и $(-4, 0)$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(-3, 3)$, ось симметрии — прямая $x = -3$, ветви параболы направлены вниз. Точка пересечения с осью OY: $(0, -24)$. Точки пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(-4, 0)$.

2) $y = 2(x - 3)^2 - 4$

Это уравнение квадратичной функции в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

1. Определение коэффициентов и направления ветвей.

Из уравнения $y = 2(x - 3)^2 - 4$ находим: $a = 2$, $h = 3$, $k = -4$. Так как коэффициент $a = 2$ положительный ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение вершины и оси симметрии.

Координаты вершины параболы $(h, k)$ равны $(3, -4)$. Ось симметрии параболы задается уравнением $x = h$, то есть $x = 3$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью OY, подставим $x = 0$:

$y(0) = 2(0 - 3)^2 - 4 = 2 \cdot (-3)^2 - 4 = 2 \cdot 9 - 4 = 18 - 4 = 14$.

Точка пересечения с осью OY — $(0, 14)$.

Для нахождения точек пересечения с осью OX, приравняем $y$ к нулю:

$0 = 2(x - 3)^2 - 4$

$2(x - 3)^2 = 4$

$(x - 3)^2 = 2$

$x - 3 = \pm \sqrt{2}$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 3 + \sqrt{2}$

$x_2 = 3 - \sqrt{2}$

Точки пересечения с осью OX: $(3 + \sqrt{2}, 0)$ и $(3 - \sqrt{2}, 0)$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(3, -4)$, ось симметрии — прямая $x = 3$, ветви параболы направлены вверх. Точка пересечения с осью OY: $(0, 14)$. Точки пересечения с осью OX: $(3 + \sqrt{2}, 0)$ и $(3 - \sqrt{2}, 0)$.

3) $y = -\frac{4}{5}(x + 3)^2 + 2\frac{1}{8}$

Уравнение представляет собой квадратичную функцию в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

1. Определение коэффициентов и направления ветвей.

Из уравнения $y = -\frac{4}{5}(x + 3)^2 + 2\frac{1}{8}$ находим: $a = -\frac{4}{5}$, $h = -3$. Свободный член $k = 2\frac{1}{8}$ переведем в неправильную дробь: $k = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{17}{8}$. Так как коэффициент $a = -\frac{4}{5} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины и оси симметрии.

Координаты вершины $(h, k)$ равны $(-3, 2\frac{1}{8})$ или $(-3, \frac{17}{8})$. Ось симметрии параболы — $x = h$, то есть $x = -3$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью OY, подставим $x = 0$:

$y(0) = -\frac{4}{5}(0 + 3)^2 + \frac{17}{8} = -\frac{4}{5} \cdot 9 + \frac{17}{8} = -\frac{36}{5} + \frac{17}{8}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 40:

$y(0) = -\frac{36 \cdot 8}{40} + \frac{17 \cdot 5}{40} = -\frac{288}{40} + \frac{85}{40} = -\frac{203}{40} = -5\frac{3}{40}$.

Точка пересечения с осью OY — $(0, -5\frac{3}{40})$.

Для нахождения точек пересечения с осью OX, приравняем $y$ к нулю:

$0 = -\frac{4}{5}(x + 3)^2 + \frac{17}{8}$

$\frac{4}{5}(x + 3)^2 = \frac{17}{8}$

$(x + 3)^2 = \frac{17}{8} \cdot \frac{5}{4} = \frac{85}{32}$

$x + 3 = \pm \sqrt{\frac{85}{32}} = \pm \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{32}} = \pm \frac{\sqrt{85}}{4\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{85}\sqrt{2}}{4\sqrt{2}\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{170}}{8}$.

Корни уравнения:

$x_1 = -3 + \frac{\sqrt{170}}{8}$

$x_2 = -3 - \frac{\sqrt{170}}{8}$

Точки пересечения с осью OX: $(-3 + \frac{\sqrt{170}}{8}, 0)$ и $(-3 - \frac{\sqrt{170}}{8}, 0)$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(-3, 2\frac{1}{8})$, ось симметрии — прямая $x = -3$, ветви параболы направлены вниз. Точка пересечения с осью OY: $(0, -5\frac{3}{40})$. Точки пересечения с осью OX: $(-3 + \frac{\sqrt{170}}{8}, 0)$ и $(-3 - \frac{\sqrt{170}}{8}, 0)$.