Номер 13.16, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.16. Выделите квадрат двучлена и постройте график функции:

1) $y = x^2 - 4x + 6;$

2) $y = x^2 + 6x + 7;$

3) $y = x^2 - 2x - 3;$

4) $y = -x^2 + 4x + 5;$

5) $y = -2x^2 + 4x + 9;$

6) $y = -3x^2 - 12x + 1.$

1)Исходная функция: $y = x^2 - 4x + 6$.

Шаг 1: Выделение квадрата двучлена.
Сгруппируем члены с $x$ и дополним их до полного квадрата. Формула полного квадрата: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $x^2 - 4x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и отнять $2^2 = 4$.
$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 6$
$y = (x - 2)^2 + 2$
Это канонический вид уравнения параболы $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h; k)$ — координаты вершины.

Шаг 2: Построение графика.
Вершина параболы находится в точке $(2; 2)$.
Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
График функции получается из графика $y=x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.
Найдем контрольные точки:
- Пересечение с осью Oy ( $x=0$ ): $y = 0^2 - 4(0) + 6 = 6$. Точка $(0; 6)$.
- Точка, симметричная $(0; 6)$ относительно оси симметрии $x=2$, — это точка $(4; 6)$.
- Пересечения с осью Ox нет, так как вершина $(2; 2)$ находится выше оси Ox и ветви направлены вверх.

График функции:

Ответ: $y = (x - 2)^2 + 2$.

2)Исходная функция: $y = x^2 + 6x + 7$.

Шаг 1: Выделение квадрата двучлена.
Для $x^2 + 6x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3$, нужно прибавить и отнять $3^2 = 9$.
$y = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 7$
$y = (x + 3)^2 - 2$

Шаг 2: Построение графика.
Вершина параболы находится в точке $(-3; -2)$.
Ветви параболы направлены вверх ( $a = 1 > 0$).
График получается из $y=x^2$ сдвигом на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз.
Контрольные точки:
- Пересечение с осью Oy ( $x=0$ ): $y = 7$. Точка $(0; 7)$.
- Симметричная точка относительно оси $x=-3$ — $(-6; 7)$.
- Пересечение с осью Ox ( $y=0$ ): $(x+3)^2-2=0 \Rightarrow x = -3 \pm \sqrt{2}$. Точки $(-3 - \sqrt{2}; 0) \approx (-4.41; 0)$ и $(-3 + \sqrt{2}; 0) \approx (-1.59; 0)$.

График функции:

Ответ: $y = (x + 3)^2 - 2$.

3)Исходная функция: $y = x^2 - 2x - 3$.

Шаг 1: Выделение квадрата двучлена.
Для $x^2 - 2x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1$, нужно прибавить и отнять $1^2 = 1$.
$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3$
$y = (x - 1)^2 - 4$

Шаг 2: Построение графика.
Вершина параболы находится в точке $(1; -4)$.
Ветви параболы направлены вверх ( $a = 1 > 0$).
График получается из $y=x^2$ сдвигом на 1 единицу вправо и на 4 единицы вниз.
Контрольные точки:
- Пересечение с осью Oy ( $x=0$ ): $y = -3$. Точка $(0; -3)$.
- Симметричная точка относительно оси $x=1$ — $(2; -3)$.
- Пересечение с осью Ox ( $y=0$ ): $(x-1)^2-4=0 \Rightarrow (x-1)^2=4 \Rightarrow x-1=\pm 2$. Точки $x=3$ и $x=-1$. То есть, $(3; 0)$ и $(-1; 0)$.

График функции:

Ответ: $y = (x - 1)^2 - 4$.

4)Исходная функция: $y = -x^2 + 4x + 5$.

Шаг 1: Выделение квадрата двучлена.
Вынесем -1 за скобки у членов с $x$:
$y = -(x^2 - 4x) + 5$
Дополним выражение в скобках до полного квадрата:
$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$
$y = -((x - 2)^2 - 4) + 5$
$y = -(x - 2)^2 + 4 + 5$
$y = -(x - 2)^2 + 9$

Шаг 2: Построение графика.
Вершина параболы находится в точке $(2; 9)$.
Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
График получается из $y=-x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 9 единиц вверх.
Контрольные точки:
- Пересечение с осью Oy ( $x=0$ ): $y = 5$. Точка $(0; 5)$.
- Симметричная точка относительно оси $x=2$ — $(4; 5)$.
- Пересечение с осью Ox ( $y=0$ ): $-(x-2)^2+9=0 \Rightarrow (x-2)^2=9 \Rightarrow x-2=\pm 3$. Точки $x=5$ и $x=-1$. То есть, $(5; 0)$ и $(-1; 0)$.

График функции:

Ответ: $y = -(x - 2)^2 + 9$.

5)Исходная функция: $y = -2x^2 + 4x + 9$.

Шаг 1: Выделение квадрата двучлена.
Вынесем -2 за скобки:
$y = -2(x^2 - 2x) + 9$
Дополним до полного квадрата $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$:
$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 9$
$y = -2((x - 1)^2 - 1) + 9$
$y = -2(x - 1)^2 + 2 + 9$
$y = -2(x - 1)^2 + 11$

Шаг 2: Построение графика.
Вершина параболы находится в точке $(1; 11)$.
Коэффициент $a = -2 < 0$, ветви направлены вниз. Парабола будет "уже", чем $y=-x^2$.
График получается из $y=-2x^2$ сдвигом на 1 вправо и на 11 вверх.
Контрольные точки:
- Пересечение с осью Oy ( $x=0$ ): $y = 9$. Точка $(0; 9)$.
- Симметричная точка относительно оси $x=1$ — $(2; 9)$.
- Пересечение с осью Ox ( $y=0$ ): $-2(x-1)^2+11=0 \Rightarrow (x-1)^2=5.5 \Rightarrow x=1 \pm \sqrt{5.5}$. Точки $(1-\sqrt{5.5}; 0) \approx (-1.35; 0)$ и $(1+\sqrt{5.5}; 0) \approx (3.35; 0)$.

График функции:

Ответ: $y = -2(x - 1)^2 + 11$.

6)Исходная функция: $y = -3x^2 - 12x + 1$.

Шаг 1: Выделение квадрата двучлена.
Вынесем -3 за скобки:
$y = -3(x^2 + 4x) + 1$
Дополним до полного квадрата $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$:
$y = -3(x^2 + 4x + 4 - 4) + 1$
$y = -3((x + 2)^2 - 4) + 1$
$y = -3(x + 2)^2 + 12 + 1$
$y = -3(x + 2)^2 + 13$

Шаг 2: Построение графика.
Вершина параболы находится в точке $(-2; 13)$.
Коэффициент $a = -3 < 0$, ветви направлены вниз. Парабола "еще уже", чем в предыдущем примере.
График получается из $y=-3x^2$ сдвигом на 2 влево и на 13 вверх.
Контрольные точки:
- Пересечение с осью Oy ( $x=0$ ): $y = 1$. Точка $(0; 1)$.
- Симметричная точка относительно оси $x=-2$ — $(-4; 1)$.
- Пересечение с осью Ox ( $y=0$ ): $-3(x+2)^2+13=0 \Rightarrow (x+2)^2=13/3 \Rightarrow x=-2 \pm \sqrt{13/3}$. Точки $(-2 - \sqrt{13/3}; 0) \approx (-4.08; 0)$ и $(-2 + \sqrt{13/3}; 0) \approx (0.08; 0)$.

График функции:

Ответ: $y = -3(x + 2)^2 + 13$.