Страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.28.

1) $\frac{1}{y-3} + \frac{1}{y} - \frac{4}{y-2} = 0;$

2) $\frac{1}{2(y+1)} + \frac{1}{y+2} - \frac{3}{y+3} = 0.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{y-3} + \frac{1}{y} - \frac{4}{y-2} = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю:

$ y-3 \neq 0 \implies y \neq 3 $

$ y \neq 0 $

$ y-2 \neq 0 \implies y \neq 2 $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ y(y-3)(y-2) $. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающие множители:

$ \frac{1 \cdot y(y-2)}{y(y-3)(y-2)} + \frac{1 \cdot (y-3)(y-2)}{y(y-3)(y-2)} - \frac{4 \cdot y(y-3)}{y(y-3)(y-2)} = 0 $

Теперь мы можем записать уравнение для числителя, так как дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен (что учтено в ОДЗ):

$ y(y-2) + (y-3)(y-2) - 4y(y-3) = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ (y^2 - 2y) + (y^2 - 2y - 3y + 6) - (4y^2 - 12y) = 0 $

$ y^2 - 2y + y^2 - 5y + 6 - 4y^2 + 12y = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (y^2 + y^2 - 4y^2) + (-2y - 5y + 12y) + 6 = 0 $

$ -2y^2 + 5y + 6 = 0 $

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства решения:

$ 2y^2 - 5y - 6 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 25 + 48 = 73 $

Поскольку $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня:

$ y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - \sqrt{73}}{4} $

$ y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + \sqrt{73}}{4} $

Оба корня не равны 0, 2 или 3, следовательно, они входят в ОДЗ и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $ \frac{5 - \sqrt{73}}{4}; \frac{5 + \sqrt{73}}{4} $.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{2(y+1)} + \frac{1}{y+2} - \frac{3}{y+3} = 0 $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ y+1 \neq 0 \implies y \neq -1 $

$ y+2 \neq 0 \implies y \neq -2 $

$ y+3 \neq 0 \implies y \neq -3 $

Общий знаменатель для всех дробей равен $ 2(y+1)(y+2)(y+3) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (y+2)(y+3)}{2(y+1)(y+2)(y+3)} + \frac{1 \cdot 2(y+1)(y+3)}{2(y+1)(y+2)(y+3)} - \frac{3 \cdot 2(y+1)(y+2)}{2(y+1)(y+2)(y+3)} = 0 $

Приравняем числитель к нулю:

$ (y+2)(y+3) + 2(y+1)(y+3) - 6(y+1)(y+2) = 0 $

Раскроем скобки:

$ (y^2 + 3y + 2y + 6) + 2(y^2 + 3y + y + 3) - 6(y^2 + 2y + y + 2) = 0 $

$ (y^2 + 5y + 6) + 2(y^2 + 4y + 3) - 6(y^2 + 3y + 2) = 0 $

$ y^2 + 5y + 6 + 2y^2 + 8y + 6 - 6y^2 - 18y - 12 = 0 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ (y^2 + 2y^2 - 6y^2) + (5y + 8y - 18y) + (6 + 6 - 12) = 0 $

$ -3y^2 - 5y = 0 $

Умножим уравнение на -1:

$ 3y^2 + 5y = 0 $

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$ y(3y + 5) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$ y_1 = 0 $

или

$ 3y + 5 = 0 \implies 3y = -5 \implies y_2 = -\frac{5}{3} $

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ ($y \neq -1, -2, -3$).

$ y_1 = 0 $ удовлетворяет ОДЗ.

$ y_2 = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} $ также удовлетворяет ОДЗ.

Следовательно, оба значения являются корнями уравнения.

Ответ: $ 0; -\frac{5}{3} $.

10.29. 1) $ \frac{x^3 - 8}{2x - 4} + 18 = 12x; $

2) $ \frac{8x^3 + 27}{4x + 6} - 21 = 5x; $

3) $ \frac{x^4 - 256}{16 - x^2} - 24 = 14x; $

4) $ \frac{x^4 - 625}{25 - x^2} + 90 = -8x. $

1) $\frac{x^3 - 8}{2x - 4} + 18 = 12x$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых уравнение имеет смысл. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

$2x - 4 \neq 0$

$2x \neq 4$

$x \neq 2$

Далее, упростим левую часть уравнения. Числитель дроби $x^3 - 8$ является разностью кубов, которую можно разложить по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

Знаменатель $2x - 4$ можно разложить, вынеся общий множитель 2:

$2x - 4 = 2(x - 2)$

Теперь подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{2(x - 2)}$

Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 2)$:

$\frac{x^2 + 2x + 4}{2}$

Подставим упрощенное выражение обратно в исходное уравнение:

$\frac{x^2 + 2x + 4}{2} + 18 = 12x$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$(x^2 + 2x + 4) + 2 \cdot 18 = 2 \cdot 12x$

$x^2 + 2x + 4 + 36 = 24x$

$x^2 + 2x + 40 = 24x$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x - 24x + 40 = 0$

$x^2 - 22x + 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 484 - 160 = 324$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{22 + \sqrt{324}}{2} = \frac{22 + 18}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{22 - \sqrt{324}}{2} = \frac{22 - 18}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Сравним полученные корни с ОДЗ ($x \neq 2$). Корень $x_1 = 20$ удовлетворяет условию. Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.

Ответ: 20

2) $\frac{8x^3 + 27}{4x + 6} - 21 = 5x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$4x + 6 \neq 0$

$4x \neq -6$

$x \neq -\frac{6}{4} \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}$

Упростим дробь. Числитель $8x^3 + 27$ — это сумма кубов $(2x)^3 + 3^3$, которая раскладывается по формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$8x^3 + 27 = (2x + 3)((2x)^2 - 2x \cdot 3 + 3^2) = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)$

В знаменателе вынесем общий множитель 2:

$4x + 6 = 2(2x + 3)$

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на $(2x + 3)$, так как $x \neq -\frac{3}{2}$:

$\frac{(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)}{2(2x + 3)} = \frac{4x^2 - 6x + 9}{2}$

Подставим упрощенное выражение в уравнение:

$\frac{4x^2 - 6x + 9}{2} - 21 = 5x$

Умножим обе части на 2:

$4x^2 - 6x + 9 - 42 = 10x$

$4x^2 - 6x - 33 = 10x$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$4x^2 - 16x - 33 = 0$

Решим уравнение через дискриминант:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 256 + 528 = 784$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{16 + \sqrt{784}}{2 \cdot 4} = \frac{16 + 28}{8} = \frac{44}{8} = \frac{11}{2} = 5,5$

$x_2 = \frac{16 - \sqrt{784}}{2 \cdot 4} = \frac{16 - 28}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -\frac{3}{2}$). Корень $x_1 = 5,5$ подходит. Корень $x_2 = -\frac{3}{2}$ является посторонним.

Ответ: 5,5

3) $\frac{x^4 - 256}{16 - x^2} - 24 = 14x$

Найдем ОДЗ:

$16 - x^2 \neq 0$

$x^2 \neq 16 \Rightarrow x \neq 4$ и $x \neq -4$

Упростим дробь. Числитель $x^4 - 256$ является разностью квадратов $(x^2)^2 - 16^2$:

$x^4 - 256 = (x^2 - 16)(x^2 + 16)$

Знаменатель $16 - x^2$ можно представить как $-(x^2 - 16)$.

Дробь принимает вид:

$\frac{(x^2 - 16)(x^2 + 16)}{-(x^2 - 16)}$

Сократим дробь на $(x^2 - 16)$, так как $x^2 \neq 16$:

$-(x^2 + 16) = -x^2 - 16$

Подставим в исходное уравнение:

$-x^2 - 16 - 24 = 14x$

$-x^2 - 40 = 14x$

Перенесем все в правую часть и запишем в стандартном виде:

$x^2 + 14x + 40 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна -14, а их произведение равно 40. Это числа -10 и -4.

$x_1 = -10$, $x_2 = -4$

Проверим корни по ОДЗ ($x \neq 4, x \neq -4$). Корень $x_1 = -10$ подходит. Корень $x_2 = -4$ не подходит.

Ответ: -10

4) $\frac{x^4 - 625}{25 - x^2} + 90 = -8x$

Найдем ОДЗ:

$25 - x^2 \neq 0$

$x^2 \neq 25 \Rightarrow x \neq 5$ и $x \neq -5$

Упростим дробь. Числитель $x^4 - 625$ — это разность квадратов $(x^2)^2 - 25^2$:

$x^4 - 625 = (x^2 - 25)(x^2 + 25)$

Знаменатель: $25 - x^2 = -(x^2 - 25)$

Сократим дробь, учитывая ОДЗ:

$\frac{(x^2 - 25)(x^2 + 25)}{-(x^2 - 25)} = -(x^2 + 25) = -x^2 - 25$

Подставим в уравнение:

$-x^2 - 25 + 90 = -8x$

$-x^2 + 65 = -8x$

Приведем к стандартному виду:

$x^2 - 8x - 65 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение -65. Это числа 13 и -5.

$x_1 = 13$, $x_2 = -5$

Проверим корни по ОДЗ ($x \neq 5, x \neq -5$). Корень $x_1 = 13$ подходит. Корень $x_2 = -5$ является посторонним.

Ответ: 13

10.30. Найдите отрицательные корни уравнения:

1) $ \frac{27x^3 + 125}{5 + 3x} = -(5 + 48x) $;

2) $ 4x + 2,5 = \frac{16x^4 - 1}{16x^2 - 4} $.

1) $\frac{27x^3+125}{5+3x} = -(5+48x)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$5 + 3x \neq 0$
$3x \neq -5$
$x \neq -\frac{5}{3}$

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Числитель $27x^3 + 125$ является суммой кубов: $(3x)^3 + 5^3$.
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$27x^3 + 125 = (3x+5)((3x)^2 - 3x \cdot 5 + 5^2) = (3x+5)(9x^2-15x+25)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{(3x+5)(9x^2-15x+25)}{5+3x} = -(5+48x)$

Так как $x \neq -\frac{5}{3}$, мы можем сократить дробь на $(3x+5)$:
$9x^2-15x+25 = -(5+48x)$
$9x^2-15x+25 = -5-48x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$9x^2 - 15x + 48x + 25 + 5 = 0$
$9x^2 + 33x + 30 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:
$3x^2 + 11x + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-11+1}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-11-1}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -\frac{5}{3}$).
Корень $x_1 = -\frac{5}{3}$ не входит в ОДЗ, следовательно, является посторонним.
Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.
По условию задачи нужно найти отрицательные корни. Корень $x=-2$ является отрицательным.

Ответ: -2

2) $4x+2,5 = \frac{16x^4-1}{16x^2-4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$16x^2 - 4 \neq 0$
$16x^2 \neq 4$
$x^2 \neq \frac{4}{16}$
$x^2 \neq \frac{1}{4}$
$x \neq \pm \frac{1}{2}$

Преобразуем правую часть уравнения. Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $16x^4 - 1$ — это разность квадратов $(4x^2)^2 - 1^2$:
$16x^4 - 1 = (4x^2-1)(4x^2+1)$.

Знаменатель $16x^2 - 4$ можно преобразовать, вынеся общий множитель 4:
$16x^2 - 4 = 4(4x^2-1)$.

Подставим разложенные выражения в уравнение:
$4x+2,5 = \frac{(4x^2-1)(4x^2+1)}{4(4x^2-1)}$

Учитывая ОДЗ ($x \neq \pm \frac{1}{2}$, что означает $4x^2-1 \neq 0$), мы можем сократить дробь на $(4x^2-1)$:
$4x+2,5 = \frac{4x^2+1}{4}$

Разделим почленно правую часть:
$4x+2,5 = \frac{4x^2}{4} + \frac{1}{4}$
$4x+2,5 = x^2 + 0,25$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$0 = x^2 - 4x + 0,25 - 2,5$
$x^2 - 4x - 2,25 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 4:
$4x^2 - 16x - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 256 + 144 = 400 = 20^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 20}{2 \cdot 4} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 20}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \pm \frac{1}{2}$).
Корень $x_1 = 4,5$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Этот корень является посторонним.

Единственным решением уравнения является $x=4,5$. По условию задачи требуется найти отрицательные корни. Так как единственный корень $4,5$ является положительным, у уравнения нет отрицательных корней.

Ответ: отрицательных корней нет.

10.31. Найдите неотрицательные корни уравнения:

1) $ \frac{x^3 - 125}{x - 5} = 8x + 35; $

2) $ \frac{x^3 + 64}{4x + 16} = 11 - \frac{x}{4}. $

1) Решим уравнение $\frac{x^3 - 125}{x - 5} = 8x + 35$.
По условию, мы ищем неотрицательные корни, то есть $x \ge 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x - 5 \neq 0$, откуда $x \neq 5$.
Числитель дроби в левой части уравнения представляет собой разность кубов. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 - 125 = x^3 - 5^3 = (x - 5)(x^2 + x \cdot 5 + 5^2) = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)$.
Подставим это выражение в уравнение и сократим дробь, учитывая, что $x \neq 5$:
$\frac{(x - 5)(x^2 + 5x + 25)}{x - 5} = 8x + 35$
$x^2 + 5x + 25 = 8x + 35$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 5x - 8x + 25 - 35 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, произведение корней равно -10, а их сумма равна 3. Корнями являются числа 5 и -2.
$x_1 = 5$, $x_2 = -2$.
Теперь проверим найденные корни.
Корень $x_1 = 5$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 5$. Следовательно, $x=5$ не является корнем исходного уравнения.
Корень $x_2 = -2$ является отрицательным числом, а по условию задачи требуется найти неотрицательные корни.
Таким образом, у данного уравнения нет неотрицательных корней.
Ответ: неотрицательных корней нет.

2) Решим уравнение $\frac{x^3 + 64}{4x + 16} = 11 - \frac{x}{4}$.
По условию, мы ищем неотрицательные корни, то есть $x \ge 0$.
ОДЗ уравнения: знаменатель не равен нулю, $4x + 16 \neq 0$, что равносильно $4(x+4) \neq 0$, откуда $x \neq -4$.
Преобразуем левую часть уравнения. Числитель — это сумма кубов. Используем формулу $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$x^3 + 64 = x^3 + 4^3 = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)$.
Знаменатель можно разложить на множители: $4x + 16 = 4(x + 4)$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$\frac{(x + 4)(x^2 - 4x + 16)}{4(x + 4)} = 11 - \frac{x}{4}$
Сократим дробь на $(x+4)$, так как $x \neq -4$:
$\frac{x^2 - 4x + 16}{4} = 11 - \frac{x}{4}$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:
$x^2 - 4x + 16 = 4 \cdot 11 - 4 \cdot \frac{x}{4}$
$x^2 - 4x + 16 = 44 - x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 4x + x + 16 - 44 = 0$
$x^2 - 3x - 28 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -28, а сумма равна 3. Корнями являются числа 7 и -4.
$x_1 = 7$, $x_2 = -4$.
Проверим найденные корни.
Корень $x_2 = -4$ не входит в ОДЗ ($x \neq -4$), поэтому он не является решением.
Корень $x_1 = 7$ является неотрицательным числом ($7 \ge 0$) и удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, единственный неотрицательный корень уравнения — это 7.
Ответ: 7.

Решите уравнения (10.32–10.34):

10.32. 1) $\frac{5x^2 - 7x + 2}{4x^2 + x - 5} = \frac{(4x - 5)^2}{16x^2 - 25};$

2) $\frac{3x^2 + 4x - 4}{2x^2 - x - 10} = \frac{(2x + 5)^2}{4x^2 - 25};$

3) $\frac{9x^2 - 42x - 15}{4x^2 - 21x + 5} = \frac{(4x + 1)^2}{16x^2 - 1}.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{5x^2 - 7x + 2}{4x^2 + x - 5} = \frac{(4x - 5)^2}{16x^2 - 25} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не обращаются в ноль.

1. $ 4x^2 + x - 5 \neq 0 $. Решим квадратное уравнение $ 4x^2 + x - 5 = 0 $.
Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $.
Корни уравнения: $ x_1 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} $, $ x_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 $.
Следовательно, $ x \neq -\frac{5}{4} $ и $ x \neq 1 $.

2. $ 16x^2 - 25 \neq 0 $. Используем формулу разности квадратов: $ (4x)^2 - 5^2 = (4x - 5)(4x + 5) \neq 0 $.
Отсюда $ 4x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{5}{4} $ и $ 4x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{5}{4} $.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{5}{4}, 1, \frac{5}{4}\} $.

Теперь упростим уравнение. Разложим числители и знаменатели на множители.
Для числителя левой части $ 5x^2 - 7x + 2 $: $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^2 $. Корни $ x_1 = \frac{7-3}{10} = \frac{2}{5} $, $ x_2 = \frac{7+3}{10} = 1 $.
Таким образом, $ 5x^2 - 7x + 2 = 5(x - 1)(x - \frac{2}{5}) = (x - 1)(5x - 2) $.
Знаменатель левой части: $ 4x^2 + x - 5 = 4(x-1)(x+\frac{5}{4}) = (x - 1)(4x + 5) $.
Знаменатель правой части: $ 16x^2 - 25 = (4x - 5)(4x + 5) $.

Подставляем разложенные выражения в исходное уравнение:
$ \frac{(x - 1)(5x - 2)}{(x - 1)(4x + 5)} = \frac{(4x - 5)^2}{(4x - 5)(4x + 5)} $.

С учетом ОДЗ ($ x \neq 1 $ и $ x \neq \frac{5}{4} $), мы можем сократить общие множители в числителе и знаменателе каждой дроби:
$ \frac{5x - 2}{4x + 5} = \frac{4x - 5}{4x + 5} $.

Так как $ 4x+5 \neq 0 $ (согласно ОДЗ), мы можем умножить обе части уравнения на $ (4x+5) $, что равносильно приравниванию числителей:
$ 5x - 2 = 4x - 5 $
$ 5x - 4x = -5 + 2 $
$ x = -3 $.

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $ -3 \neq -\frac{5}{4} $, $ -3 \neq 1 $, $ -3 \neq \frac{5}{4} $. Корень подходит.
Ответ: $ -3 $.

2) Исходное уравнение: $ \frac{3x^2 + 4x - 4}{2x^2 - x - 10} = \frac{(2x + 5)^2}{4x^2 - 25} $.

Найдем ОДЗ.

1. $ 2x^2 - x - 10 \neq 0 $. Решим $ 2x^2 - x - 10 = 0 $.
$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{1 - 9}{4} = -2 $, $ x_2 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $.
Следовательно, $ x \neq -2 $ и $ x \neq \frac{5}{2} $.

2. $ 4x^2 - 25 \neq 0 $. $ (2x - 5)(2x + 5) \neq 0 $.
Отсюда $ x \neq \frac{5}{2} $ и $ x \neq -\frac{5}{2} $.

ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\} $.

Разложим многочлены на множители.
Числитель левой части $ 3x^2 + 4x - 4 $: $ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-4 - 8}{6} = -2 $, $ x_2 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{2}{3} $.
$ 3x^2 + 4x - 4 = 3(x+2)(x-\frac{2}{3}) = (x+2)(3x-2) $.
Знаменатель левой части: $ 2x^2 - x - 10 = 2(x+2)(x-\frac{5}{2}) = (x+2)(2x-5) $.
Знаменатель правой части: $ 4x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5) $.

Подставляем в уравнение:
$ \frac{(x+2)(3x-2)}{(x+2)(2x-5)} = \frac{(2x+5)^2}{(2x-5)(2x+5)} $.

С учетом ОДЗ ($ x \neq -2, x \neq -5/2 $), сокращаем дроби:
$ \frac{3x-2}{2x-5} = \frac{2x+5}{2x-5} $.

Так как $ 2x - 5 \neq 0 $, приравниваем числители:
$ 3x - 2 = 2x + 5 $
$ 3x - 2x = 5 + 2 $
$ x = 7 $.

Корень $ x = 7 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ 7 $.

3) Исходное уравнение: $ \frac{9x^2 - 42x - 15}{4x^2 - 21x + 5} = \frac{(4x + 1)^2}{16x^2 - 1} $.

Найдем ОДЗ.

1. $ 4x^2 - 21x + 5 \neq 0 $. Решим $ 4x^2 - 21x + 5 = 0 $.
$ D = (-21)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 441 - 80 = 361 = 19^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{21 - 19}{8} = \frac{1}{4} $, $ x_2 = \frac{21 + 19}{8} = 5 $.
Следовательно, $ x \neq \frac{1}{4} $ и $ x \neq 5 $.

2. $ 16x^2 - 1 \neq 0 $. $ (4x - 1)(4x + 1) \neq 0 $.
Отсюда $ x \neq \frac{1}{4} $ и $ x \neq -\frac{1}{4} $.

ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 5\} $.

Разложим многочлены на множители.
Числитель левой части $ 9x^2 - 42x - 15 = 3(3x^2 - 14x - 5) $.
Для $ 3x^2 - 14x - 5 = 0 $: $ D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{14 - 16}{6} = -\frac{1}{3} $, $ x_2 = \frac{14 + 16}{6} = 5 $.
$ 3(3x^2 - 14x - 5) = 3 \cdot 3(x+\frac{1}{3})(x-5) = (3x+1)3(x-5) $. Ошибка в выкладках. Правильно: $ 3(3x^2 - 14x - 5) = 3(3(x-5)(x+1/3)) = (3x+1)3(x-5) $. Нет, $3x^2 - 14x - 5 = 3(x-5)(x+1/3) = (x-5)(3x+1)$.
Тогда $ 9x^2 - 42x - 15 = 3(x - 5)(3x + 1) $.
Знаменатель левой части: $ 4x^2 - 21x + 5 = 4(x-\frac{1}{4})(x-5) = (4x-1)(x-5) $.
Знаменатель правой части: $ 16x^2 - 1 = (4x - 1)(4x + 1) $.

Подставляем в уравнение:
$ \frac{3(x-5)(3x+1)}{(4x-1)(x-5)} = \frac{(4x+1)^2}{(4x-1)(4x+1)} $.

С учетом ОДЗ ($ x \neq 5 $ и $ x \neq -\frac{1}{4} $), сокращаем дроби:
$ \frac{3(3x+1)}{4x-1} = \frac{4x+1}{4x-1} $.

Так как $ 4x - 1 \neq 0 $, приравниваем числители:
$ 3(3x+1) = 4x+1 $
$ 9x + 3 = 4x + 1 $
$ 5x = -2 $
$ x = -\frac{2}{5} $.

Корень $ x = -\frac{2}{5} = -0.4 $ удовлетворяет ОДЗ ($ -0.4 \notin \{-0.25, 0.25, 5\} $).
Ответ: $ -\frac{2}{5} $.

10.33.

1) $\frac{5x^2 - 17x + 12}{3x^2 - x - 2} = \frac{(3x - 2)^2}{9x^2 - 4}$;

2) $\frac{3x^2 + 10x + 8}{8x^2 + 18x + 4} = \frac{(8x - 2)^2}{64x^2 - 4}$;

3) $\frac{3x^2 + 4x - 4}{2x^2 + 5x + 2} = \frac{(2x - 1)^2}{4x^2 - 1}$.

1)

Для доказательства тождества необходимо упростить левую и правую части выражения и показать, что они равны. В данном случае, мы покажем, что равенство не является тождеством.

Упростим левую часть: $\frac{5x^2 - 17x + 12}{3x^2 - x - 2}$.
Разложим числитель $5x^2 - 17x + 12$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $5x^2 - 17x + 12 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 289 - 240 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 7}{10} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$, $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
Таким образом, $5x^2 - 17x + 12 = 5(x - \frac{12}{5})(x - 1) = (5x - 12)(x - 1)$.

Разложим знаменатель $3x^2 - x - 2$ на множители. Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + 5}{6} = 1$, $x_2 = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Таким образом, $3x^2 - x - 2 = 3(x - 1)(x + \frac{2}{3}) = (x - 1)(3x + 2)$.

Левая часть после упрощения: $\frac{(5x - 12)(x - 1)}{(x - 1)(3x + 2)} = \frac{5x - 12}{3x + 2}$ при $x \neq 1$.

Теперь упростим правую часть: $\frac{(3x - 2)^2}{9x^2 - 4}$.
Знаменатель $9x^2 - 4$ является разностью квадратов: $(3x)^2 - 2^2 = (3x - 2)(3x + 2)$.
Правая часть после упрощения: $\frac{(3x - 2)^2}{(3x - 2)(3x + 2)} = \frac{3x - 2}{3x + 2}$ при $x \neq \frac{2}{3}$.

Сравнивая упрощенные выражения, получаем равенство: $\frac{5x - 12}{3x + 2} = \frac{3x - 2}{3x + 2}$.
Данное равенство не является тождеством, так как числители $5x - 12$ и $3x - 2$ не равны для всех допустимых значений $x$. Это уравнение.
Решим его: $5x - 12 = 3x - 2 \implies 2x = 10 \implies x = 5$.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Оно представляет собой уравнение, корень которого $x=5$.

2)

Упростим левую и правую части для проверки тождества.

Левая часть: $\frac{3x^2 + 10x + 8}{8x^2 + 18x + 4}$.
Разложим числитель $3x^2 + 10x + 8$ на множители. Корни уравнения $3x^2 + 10x + 8 = 0$:
$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 = 2^2$.
$x_1 = \frac{-10 + 2}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$, $x_2 = \frac{-10 - 2}{6} = -2$.
$3x^2 + 10x + 8 = 3(x + \frac{4}{3})(x + 2) = (3x + 4)(x + 2)$.

Разложим знаменатель $8x^2 + 18x + 4 = 2(4x^2 + 9x + 2)$. Корни уравнения $4x^2 + 9x + 2 = 0$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-9 + 7}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$, $x_2 = \frac{-9 - 7}{8} = -2$.
$8x^2 + 18x + 4 = 2 \cdot 4(x + \frac{1}{4})(x + 2) = 2(4x + 1)(x + 2)$.

Левая часть: $\frac{(3x + 4)(x + 2)}{2(4x + 1)(x + 2)} = \frac{3x + 4}{2(4x + 1)} = \frac{3x + 4}{8x + 2}$ при $x \neq -2$.

Правая часть: $\frac{(8x - 2)^2}{64x^2 - 4}$.
Упростим числитель: $(8x - 2)^2 = (2(4x - 1))^2 = 4(4x - 1)^2$.
Упростим знаменатель: $64x^2 - 4 = 4(16x^2 - 1) = 4(4x - 1)(4x + 1)$.
Правая часть: $\frac{4(4x - 1)^2}{4(4x - 1)(4x + 1)} = \frac{4x - 1}{4x + 1}$ при $x \neq \frac{1}{4}$.

Сравниваем: $\frac{3x + 4}{2(4x + 1)} = \frac{4x - 1}{4x + 1}$.
Это не тождество. Решим как уравнение при $x \neq -\frac{1}{4}$:
$3x + 4 = 2(4x - 1) \implies 3x + 4 = 8x - 2 \implies 6 = 5x \implies x = \frac{6}{5}$.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Это уравнение, корень которого $x=\frac{6}{5}$.

3)

Упростим обе части выражения для проверки тождества.

Левая часть: $\frac{3x^2 + 4x - 4}{2x^2 + 5x + 2}$.
Разложим числитель $3x^2 + 4x - 4$. Корни уравнения $3x^2 + 4x - 4 = 0$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = -2$.
$3x^2 + 4x - 4 = 3(x - \frac{2}{3})(x + 2) = (3x - 2)(x + 2)$.

Разложим знаменатель $2x^2 + 5x + 2$. Корни уравнения $2x^2 + 5x + 2 = 0$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$.
$2x^2 + 5x + 2 = 2(x + \frac{1}{2})(x + 2) = (2x + 1)(x + 2)$.

Левая часть: $\frac{(3x - 2)(x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)} = \frac{3x - 2}{2x + 1}$ при $x \neq -2$.

Правая часть: $\frac{(2x - 1)^2}{4x^2 - 1}$.
Знаменатель $4x^2 - 1$ — разность квадратов: $(2x - 1)(2x + 1)$.
Правая часть: $\frac{(2x - 1)^2}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{2x - 1}{2x + 1}$ при $x \neq \frac{1}{2}$.

Сравниваем: $\frac{3x - 2}{2x + 1} = \frac{2x - 1}{2x + 1}$.
Это не тождество. Решим как уравнение при $x \neq -\frac{1}{2}$:
$3x - 2 = 2x - 1 \implies x = 1$.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Это уравнение, корень которого $x=1$.

10.34. 1)
$\frac{2x^2 - 3x - 20}{6x^2 - 20x - 16} = \frac{(6x - 4)^2}{36x^2 - 16}$

2) $\frac{x^2 + x - 12}{6x^2 - 10x - 24} = \frac{(6x - 8)^2}{36x^2 - 64}$

3) $\frac{2x^2 - 7x + 6}{3x^2 - 4x - 4} = \frac{(3x - 2)^2}{9x^2 - 4}$

1)

Решим уравнение $ \frac{2x^2 - 3x - 20}{6x^2 - 20x - 16} = \frac{(6x - 4)^2}{36x^2 - 16} $. Для этого упростим обе части уравнения, разложив числители и знаменатели на множители.

Сначала преобразуем левую часть. Разложим числитель $2x^2 - 3x - 20$. Корни уравнения $2x^2 - 3x - 20 = 0$ находятся через дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 9 + 160 = 169 = 13^2$. Корни: $x_1 = \frac{3+13}{4}=4$, $x_2 = \frac{3-13}{4}=-\frac{5}{2}$. Тогда $2x^2 - 3x - 20 = 2(x-4)(x+\frac{5}{2}) = (x-4)(2x+5)$.
Разложим знаменатель $6x^2 - 20x - 16 = 2(3x^2 - 10x - 8)$. Корни уравнения $3x^2 - 10x - 8 = 0$ находятся через дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$. Корни: $x_1 = \frac{10+14}{6}=4$, $x_2 = \frac{10-14}{6}=-\frac{2}{3}$. Тогда $6x^2 - 20x - 16 = 2 \cdot 3(x-4)(x+\frac{2}{3}) = 2(x-4)(3x+2)$.
Левая часть равна $ \frac{(x-4)(2x+5)}{2(x-4)(3x+2)} = \frac{2x+5}{2(3x+2)} = \frac{2x+5}{6x+4} $.

Теперь преобразуем правую часть. Знаменатель $36x^2 - 16$ является разностью квадратов: $(6x)^2 - 4^2 = (6x-4)(6x+4)$.
Правая часть равна $ \frac{(6x-4)^2}{(6x-4)(6x+4)} = \frac{6x-4}{6x+4} $.

Уравнение принимает вид $ \frac{2x+5}{6x+4} = \frac{6x-4}{6x+4} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условий, при которых происходило сокращение дробей и знаменатели не равны нулю: $x-4 \neq 0$, $3x+2 \neq 0$, $6x-4 \neq 0$, $6x+4 \neq 0$. Отсюда $x \neq 4$, $x \neq -2/3$, $x \neq 2/3$.
Поскольку знаменатели в упрощенном уравнении равны, приравниваем числители:
$2x+5 = 6x-4$
$9 = 4x$
$x = \frac{9}{4}$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=\frac{9}{4}$.

2)

Решим уравнение $ \frac{x^2 + x - 12}{6x^2 - 10x - 24} = \frac{(6x - 8)^2}{36x^2 - 64} $. Упростим обе части.

Преобразуем левую часть. Разложим числитель $x^2 + x - 12$. По теореме Виета корни уравнения $x^2+x-12=0$ равны $3$ и $-4$, поэтому $x^2+x-12 = (x-3)(x+4)$.
Разложим знаменатель $6x^2 - 10x - 24 = 2(3x^2-5x-12)$. Корни уравнения $3x^2-5x-12=0$ находятся через дискриминант $D=(-5)^2-4 \cdot 3 \cdot (-12)=25+144=169=13^2$. Корни: $x_1=\frac{5+13}{6}=3$, $x_2=\frac{5-13}{6}=-\frac{4}{3}$. Тогда $6x^2-10x-24 = 2 \cdot 3(x-3)(x+\frac{4}{3}) = 2(x-3)(3x+4)$.
Левая часть равна $ \frac{(x-3)(x+4)}{2(x-3)(3x+4)} = \frac{x+4}{2(3x+4)} = \frac{x+4}{6x+8} $.

Преобразуем правую часть. Знаменатель $36x^2-64$ это разность квадратов: $(6x)^2 - 8^2 = (6x-8)(6x+8)$.
Правая часть равна $ \frac{(6x-8)^2}{(6x-8)(6x+8)} = \frac{6x-8}{6x+8} $.

Уравнение принимает вид $ \frac{x+4}{6x+8} = \frac{6x-8}{6x+8} $.
ОДЗ: $x-3 \neq 0$, $3x+4 \neq 0$, $6x-8 \neq 0$, $6x+8 \neq 0$. Отсюда $x \neq 3$, $x \neq -4/3$, $x \neq 4/3$.
Приравниваем числители:
$x+4 = 6x-8$
$12 = 5x$
$x = \frac{12}{5}$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=\frac{12}{5}$.

3)

Решим уравнение $ \frac{2x^2 - 7x + 6}{3x^2 - 4x - 4} = \frac{(3x - 2)^2}{9x^2 - 4} $. Упростим обе части.

Преобразуем левую часть. Разложим числитель $2x^2 - 7x + 6$. Корни уравнения $2x^2-7x+6=0$ находятся через дискриминант $D=(-7)^2-4 \cdot 2 \cdot 6=49-48=1$. Корни: $x_1=\frac{7+1}{4}=2$, $x_2=\frac{7-1}{4}=\frac{3}{2}$. Тогда $2x^2-7x+6 = 2(x-2)(x-\frac{3}{2}) = (x-2)(2x-3)$.
Разложим знаменатель $3x^2-4x-4$. Корни уравнения $3x^2-4x-4=0$ находятся через дискриминант $D=(-4)^2-4 \cdot 3 \cdot (-4)=16+48=64=8^2$. Корни: $x_1=\frac{4+8}{6}=2$, $x_2=\frac{4-8}{6}=-\frac{2}{3}$. Тогда $3x^2-4x-4=3(x-2)(x+\frac{2}{3})=(x-2)(3x+2)$.
Левая часть равна $ \frac{(x-2)(2x-3)}{(x-2)(3x+2)} = \frac{2x-3}{3x+2} $.

Преобразуем правую часть. Знаменатель $9x^2-4$ это разность квадратов: $(3x)^2 - 2^2 = (3x-2)(3x+2)$.
Правая часть равна $ \frac{(3x-2)^2}{(3x-2)(3x+2)} = \frac{3x-2}{3x+2} $.

Уравнение принимает вид $ \frac{2x-3}{3x+2} = \frac{3x-2}{3x+2} $.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$, $3x+2 \neq 0$, $3x-2 \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$, $x \neq -2/3$, $x \neq 2/3$.
Приравниваем числители:
$2x-3 = 3x-2$
$-1 = x$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=-1$.

Решите уравнения (10.35–10.40):

10.35. 1)

$$\frac{6}{x^3 - 7x^2 - 7x + 1} = \frac{8}{x^3 - 8x^2 + x} + \frac{1}{x^2 + x};$$

2)

$$\frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 + 2x^2 + 4x + 8} = \frac{2x + 2}{x^2 - 4}.$$

1)

Дано уравнение: $ \frac{6}{x^3 - 7x^2 - 7x + 1} = \frac{8}{x^3 - 8x^2 + x} + \frac{1}{x^2 + x} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x^3 - 7x^2 - 7x + 1$. Это возвратный многочлен нечетной степени, поэтому $x=-1$ является его корнем: $(-1)^3 - 7(-1)^2 - 7(-1) + 1 = -1 - 7 + 7 + 1 = 0$. Разделим многочлен на $(x+1)$ и получим $x^2 - 8x + 1$. Таким образом, $x^3 - 7x^2 - 7x + 1 = (x+1)(x^2 - 8x + 1)$.

Знаменатель второй дроби: $x^3 - 8x^2 + x = x(x^2 - 8x + 1)$.

Знаменатель третьей дроби: $x^2 + x = x(x+1)$.

ОДЗ определяется условием, что все знаменатели не равны нулю: $x(x+1)(x^2 - 8x + 1) \neq 0$.

Отсюда $x \neq 0$, $x \neq -1$ и $x^2 - 8x + 1 \neq 0$. Решая квадратное уравнение $x^2 - 8x + 1 = 0$, находим корни $x = \frac{8 \pm \sqrt{64-4}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$.

Итак, ОДЗ: $x \neq 0, x \neq -1, x \neq 4 \pm \sqrt{15}$.

Перепишем исходное уравнение с разложенными знаменателями:

$ \frac{6}{(x+1)(x^2 - 8x + 1)} = \frac{8}{x(x^2 - 8x + 1)} + \frac{1}{x(x+1)} $

Общий знаменатель: $x(x+1)(x^2 - 8x + 1)$. Умножим обе части уравнения на него, учитывая ОДЗ:

$ 6x = 8(x+1) + 1(x^2 - 8x + 1) $

Раскроем скобки и упростим:

$ 6x = 8x + 8 + x^2 - 8x + 1 $

$ 6x = x^2 + 9 $

$ x^2 - 6x + 9 = 0 $

Это формула полного квадрата:

$ (x-3)^2 = 0 $

Отсюда получаем единственный корень $x=3$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Поскольку $3 \neq 0$, $3 \neq -1$ и $3 \neq 4 \pm \sqrt{15}$, корень входит в ОДЗ.

Ответ: $3$

2)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 + 2x^2 + 4x + 8} = \frac{2x + 2}{x^2 - 4} $.

Найдем ОДЗ, разложив знаменатели на множители.

Первый знаменатель: $x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = x^2(x-2) + 4(x-2) = (x-2)(x^2+4)$.

Второй знаменатель: $x^3 + 2x^2 + 4x + 8 = x^2(x+2) + 4(x+2) = (x+2)(x^2+4)$.

Третий знаменатель: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

ОДЗ: $(x-2)(x+2)(x^2+4) \neq 0$. Так как $x^2+4 > 0$ для любого действительного $x$, то условия сводятся к $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$.

Итак, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$ \frac{x^2 - 2x + 4}{(x-2)(x^2 + 4)} + \frac{x^2 + 2x + 4}{(x+2)(x^2 + 4)} = \frac{2x + 2}{(x-2)(x+2)} $

Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)(x^2+4)$. Умножим обе части уравнения на него:

$ (x+2)(x^2 - 2x + 4) + (x-2)(x^2 + 2x + 4) = (2x + 2)(x^2 + 4) $

Левая часть уравнения представляет собой сумму выражений, которые сворачиваются по формулам суммы и разности кубов:

$(x+2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$

$(x-2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$

Подставим эти выражения в уравнение:

$ (x^3 + 8) + (x^3 - 8) = (2x + 2)(x^2 + 4) $

$ 2x^3 = 2x^3 + 8x + 2x^2 + 8 $

Вычтем $2x^3$ из обеих частей:

$ 0 = 2x^2 + 8x + 8 $

Разделим уравнение на 2:

$ x^2 + 4x + 4 = 0 $

Это формула полного квадрата:

$ (x+2)^2 = 0 $

Отсюда получаем единственный корень $x=-2$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Полученный корень $x=-2$ не входит в область допустимых значений, так как он обращает в ноль знаменатели второй и третьей дробей в исходном уравнении. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет

10.36. 1) $ \frac{38}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{x + 10}{x^2 + x - 10} - \frac{x + 10}{x^2 - x + 10}; $

2) $ \frac{4x}{8x^3 + 1} + \frac{1}{16x^4 - 4x^2 - 4x - 1} = \frac{2}{4x^2 + 2x - 1}. $

1) $\frac{38}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{x+10}{x^2+x-10} - \frac{x+10}{x^2-x+10}$

Сначала преобразуем правую часть уравнения, приведя дроби к общему знаменателю. Заметим, что произведение знаменателей правой части равно знаменателю левой части:

$(x^2+x-10)(x^2-x+10) = (x^2-10+x)(x^2+10-x)$. Это не формула. Раскроем скобки напрямую:

$(x^2+x-10)(x^2-x+10) = x^4 - x^3 + 10x^2 + x^3 - x^2 + 10x - 10x^2 + 10x - 100 = x^4 - x^2 + 20x - 100$.

Таким образом, общий знаменатель — это $x^4 - x^2 + 20x - 100$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

$x^2+x-10 \neq 0$

$x^2-x+10 \neq 0$

Для второго квадратного трехчлена $x^2-x+10$ дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(10) = 1 - 40 = -39 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, выражение $x^2-x+10$ всегда больше нуля.

Для первого квадратного трехчлена $x^2+x-10=0$ дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(-10) = 1 + 40 = 41 > 0$. Корни $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$. Эти значения $x$ нужно исключить из решения.

Теперь вернемся к уравнению. Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{(x+10)(x^2-x+10) - (x+10)(x^2+x-10)}{(x^2+x-10)(x^2-x+10)}$

Вынесем $(x+10)$ за скобки в числителе:

$\frac{(x+10)((x^2-x+10) - (x^2+x-10))}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{(x+10)(x^2-x+10 - x^2-x+10)}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{(x+10)(-2x+20)}{x^4 - x^2 + 20x - 100}$

$\frac{-2(x+10)(x-10)}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{-2(x^2-100)}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{-2x^2+200}{x^4 - x^2 + 20x - 100}$

Теперь исходное уравнение можно записать так:

$\frac{38}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{-2x^2+200}{x^4 - x^2 + 20x - 100}$

Приравниваем числители, так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ):

$38 = -2x^2 + 200$

$2x^2 = 200 - 38$

$2x^2 = 162$

$x^2 = 81$

$x_1 = 9$, $x_2 = -9$.

Полученные корни не совпадают с исключенными значениями $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$. Следовательно, оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1=9, x_2=-9$.

2) $\frac{4x}{8x^3+1} + \frac{1}{16x^4 - 4x^2 - 4x - 1} = \frac{2}{4x^2+2x-1}$

Примечание: В знаменателе второго слагаемого, вероятно, допущена опечатка. В исходном виде $16x^4 - 4x^2 - 4x - 1$ разложение на множители приводит к очень сложному уравнению. Если предположить, что знаменатель должен быть $16x^4 - 4x^2 + 4x - 1$, то задача решается стандартными методами. Далее приводится решение с этим предположением.

Предполагаемое уравнение:

$\frac{4x}{8x^3+1} + \frac{1}{16x^4 - 4x^2 + 4x - 1} = \frac{2}{4x^2+2x-1}$

Разложим знаменатели на множители:

$8x^3+1 = (2x)^3 + 1^3 = (2x+1)(4x^2-2x+1)$

$16x^4 - 4x^2 + 4x - 1 = (4x^2-2x+1)(4x^2+2x-1)$. Проверим: $(4x^2-2x+1)(4x^2+2x-1) = (4x^2)^2 - (2x-1)^2 = 16x^4 - (4x^2-4x+1) = 16x^4 - 4x^2 + 4x - 1$. Верно.

Уравнение принимает вид:

$\frac{4x}{(2x+1)(4x^2-2x+1)} + \frac{1}{(4x^2-2x+1)(4x^2+2x-1)} = \frac{2}{4x^2+2x-1}$

Область допустимых значений (ОДЗ):

$2x+1 \neq 0 \implies x \neq -1/2$

$4x^2-2x+1 \neq 0$ (дискриминант $D = 4-16=-12<0$, действительных корней нет)

$4x^2+2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(4)(-1)}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Общий знаменатель: $(2x+1)(4x^2-2x+1)(4x^2+2x-1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$4x(4x^2+2x-1) + 1(2x+1) = 2(2x+1)(4x^2-2x+1)$

Раскроем скобки:

$16x^3 + 8x^2 - 4x + 2x + 1 = 2(8x^3+1)$

$16x^3 + 8x^2 - 2x + 1 = 16x^3 + 2$

Сократим $16x^3$:

$8x^2 - 2x + 1 = 2$

$8x^2 - 2x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = (-2)^2 - 4(8)(-1) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

$x = \frac{2 \pm 6}{2 \cdot 8} = \frac{2 \pm 6}{16}$

$x_1 = \frac{2+6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{2-6}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1=\frac{1}{2}, x_2=-\frac{1}{4}$.