Номер 10.30, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.30. Найдите отрицательные корни уравнения:

1) $ \frac{27x^3 + 125}{5 + 3x} = -(5 + 48x) $;

2) $ 4x + 2,5 = \frac{16x^4 - 1}{16x^2 - 4} $.

1) $\frac{27x^3+125}{5+3x} = -(5+48x)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$5 + 3x \neq 0$
$3x \neq -5$
$x \neq -\frac{5}{3}$

Теперь преобразуем левую часть уравнения. Числитель $27x^3 + 125$ является суммой кубов: $(3x)^3 + 5^3$.
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$27x^3 + 125 = (3x+5)((3x)^2 - 3x \cdot 5 + 5^2) = (3x+5)(9x^2-15x+25)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{(3x+5)(9x^2-15x+25)}{5+3x} = -(5+48x)$

Так как $x \neq -\frac{5}{3}$, мы можем сократить дробь на $(3x+5)$:
$9x^2-15x+25 = -(5+48x)$
$9x^2-15x+25 = -5-48x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$9x^2 - 15x + 48x + 25 + 5 = 0$
$9x^2 + 33x + 30 = 0$

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:
$3x^2 + 11x + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-11+1}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{-11-1}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -\frac{5}{3}$).
Корень $x_1 = -\frac{5}{3}$ не входит в ОДЗ, следовательно, является посторонним.
Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.
По условию задачи нужно найти отрицательные корни. Корень $x=-2$ является отрицательным.

Ответ: -2

2) $4x+2,5 = \frac{16x^4-1}{16x^2-4}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$16x^2 - 4 \neq 0$
$16x^2 \neq 4$
$x^2 \neq \frac{4}{16}$
$x^2 \neq \frac{1}{4}$
$x \neq \pm \frac{1}{2}$

Преобразуем правую часть уравнения. Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель $16x^4 - 1$ — это разность квадратов $(4x^2)^2 - 1^2$:
$16x^4 - 1 = (4x^2-1)(4x^2+1)$.

Знаменатель $16x^2 - 4$ можно преобразовать, вынеся общий множитель 4:
$16x^2 - 4 = 4(4x^2-1)$.

Подставим разложенные выражения в уравнение:
$4x+2,5 = \frac{(4x^2-1)(4x^2+1)}{4(4x^2-1)}$

Учитывая ОДЗ ($x \neq \pm \frac{1}{2}$, что означает $4x^2-1 \neq 0$), мы можем сократить дробь на $(4x^2-1)$:
$4x+2,5 = \frac{4x^2+1}{4}$

Разделим почленно правую часть:
$4x+2,5 = \frac{4x^2}{4} + \frac{1}{4}$
$4x+2,5 = x^2 + 0,25$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$0 = x^2 - 4x + 0,25 - 2,5$
$x^2 - 4x - 2,25 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 4:
$4x^2 - 16x - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 256 + 144 = 400 = 20^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + 20}{2 \cdot 4} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4,5$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - 20}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq \pm \frac{1}{2}$).
Корень $x_1 = 4,5$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Этот корень является посторонним.

Единственным решением уравнения является $x=4,5$. По условию задачи требуется найти отрицательные корни. Так как единственный корень $4,5$ является положительным, у уравнения нет отрицательных корней.

Ответ: отрицательных корней нет.