Номер 10.26, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.26.

1) $\frac{3x + 4}{x^2 - 2x} - \frac{1}{2 - x} = \frac{3x - 2}{x}$

2) $\frac{3}{x^2 - 2x + 4} - \frac{2}{x^3 + 8} = \frac{3}{2 + x}$

1) $\frac{3x+4}{x^2-2x} - \frac{1}{2-x} = \frac{3x-2}{x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

1. $x^2 - 2x = x(x-2) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

2. $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

3. $x \neq 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

Преобразуем уравнение. Заметим, что $2 - x = -(x - 2)$. Тогда дробь $\frac{1}{2-x}$ можно записать как $-\frac{1}{x-2}$.

$\frac{3x+4}{x(x-2)} - (-\frac{1}{x-2}) = \frac{3x-2}{x}$

$\frac{3x+4}{x(x-2)} + \frac{1}{x-2} = \frac{3x-2}{x}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $x(x-2)$. Для этого умножим вторую дробь на $x$, а правую часть уравнения на $(x-2)$.

$\frac{3x+4}{x(x-2)} + \frac{x}{x(x-2)} = \frac{(3x-2)(x-2)}{x(x-2)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-2)$, который не равен нулю в силу ОДЗ, и перейдем к уравнению числителей:

$3x + 4 + x = (3x-2)(x-2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4x + 4 = 3x^2 - 6x - 2x + 4$

$4x + 4 = 3x^2 - 8x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 - 8x - 4x + 4 - 4 = 0$

$3x^2 - 12x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$3x=0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x-4=0 \Rightarrow x_2 = 4$

Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=0$ знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

2) $\frac{3}{x^2-2x+4} - \frac{2}{x^3+8} = \frac{3}{2+x}$

Найдем ОДЗ. Разложим знаменатель $x^3+8$ на множители по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4)$

Уравнение можно переписать в виде:

$\frac{3}{x^2-2x+4} - \frac{2}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{3}{x+2}$

Знаменатели не могут быть равны нулю:

1. $x^2-2x+4 \neq 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1>0$), то выражение $x^2-2x+4$ всегда положительно при любом $x$.

2. $(x+2)(x^2-2x+4) \neq 0$. Так как второй множитель всегда не равен нулю, то $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

3. $2+x \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Общий знаменатель для всех дробей — $(x+2)(x^2-2x+4)$. Умножим обе части уравнения на него:

$3(x+2) - 2 = 3(x^2-2x+4)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$3x + 6 - 2 = 3x^2 - 6x + 12$

$3x + 4 = 3x^2 - 6x + 12$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 3x^2 - 6x - 3x + 12 - 4$

$3x^2 - 9x + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 81 - 96 = -15$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.