Номер 10.19, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.19. Найдите корни квадратного уравнения:

1) $\frac{7}{x+5} + \frac{10}{3x+4} = 2;$

2) $\frac{4}{x+3} + \frac{5}{2x+3} = 2;$

3) $\frac{5}{x+2} + \frac{7}{2x+1} = 2.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{7}{x + 5} + \frac{10}{3x + 4} = 2 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых уравнение имеет смысл. Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

$3x + 4 \neq 0 \implies 3x \neq -4 \implies x \neq -\frac{4}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 5)(3x + 4)$:

$7(3x + 4) + 10(x + 5) = 2(x + 5)(3x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$21x + 28 + 10x + 50 = 2(3x^2 + 4x + 15x + 20)$

Приведем подобные слагаемые:

$31x + 78 = 2(3x^2 + 19x + 20)$

$31x + 78 = 6x^2 + 38x + 40$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$6x^2 + 38x - 31x + 40 - 78 = 0$

$6x^2 + 7x - 38 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a = 6$, $b = 7$, $c = -38$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-38) = 49 + 24 \cdot 38 = 49 + 912 = 961$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$.

$x_1 = \frac{-7 + 31}{2 \cdot 6} = \frac{24}{12} = 2$.

$x_2 = \frac{-7 - 31}{2 \cdot 6} = \frac{-38}{12} = -\frac{19}{6}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Оба корня $2$ и $-\frac{19}{6}$ не равны $-5$ и $-\frac{4}{3}$, следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $2; -\frac{19}{6}$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{4}{x + 3} + \frac{5}{2x + 3} = 2 $.

Область допустимых значений (ОДЗ):

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

$2x + 3 \neq 0 \implies 2x \neq -3 \implies x \neq -\frac{3}{2}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 3)(2x + 3)$:

$4(2x + 3) + 5(x + 3) = 2(x + 3)(2x + 3)$

Раскроем скобки и упростим:

$8x + 12 + 5x + 15 = 2(2x^2 + 3x + 6x + 9)$

$13x + 27 = 2(2x^2 + 9x + 9)$

$13x + 27 = 4x^2 + 18x + 18$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 + 18x - 13x + 18 - 27 = 0$

$4x^2 + 5x - 9 = 0$

Решим полученное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

Коэффициенты: $a = 4$, $b = 5$, $c = -9$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169$.

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

$x_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$.

$x_2 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4}$.

Оба корня $1$ и $-\frac{9}{4}$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$ и $x \neq -\frac{3}{2}$).

Ответ: $1; -\frac{9}{4}$.

3) Исходное уравнение: $ \frac{5}{x + 2} + \frac{7}{2x + 1} = 2 $.

Область допустимых значений (ОДЗ):

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

$2x + 1 \neq 0 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 2)(2x + 1)$:

$5(2x + 1) + 7(x + 2) = 2(x + 2)(2x + 1)$

Раскроем скобки:

$10x + 5 + 7x + 14 = 2(2x^2 + x + 4x + 2)$

Упростим выражение:

$17x + 19 = 2(2x^2 + 5x + 2)$

$17x + 19 = 4x^2 + 10x + 4$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 + 10x - 17x + 4 - 19 = 0$

$4x^2 - 7x - 15 = 0$

Решим уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -7$, $c = -15$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 49 + 16 \cdot 15 = 49 + 240 = 289$.

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$.

$x_1 = \frac{-(-7) + 17}{2 \cdot 4} = \frac{7 + 17}{8} = \frac{24}{8} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-7) - 17}{2 \cdot 4} = \frac{7 - 17}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$.

Оба корня $3$ и $-\frac{5}{4}$ принадлежат ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq -\frac{1}{2}$).

Ответ: $3; -\frac{5}{4}$.