Номер 10.18, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.18. Найдите положительные корни уравнения:

1) $ \frac{2}{x - 5} + \frac{11}{x + 4} = 1; $

2) $ \frac{5}{x + 3} + \frac{1}{x - 4} = 3. $

1) $\frac{2}{x - 5} + \frac{11}{x + 4} = 1$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю, поэтому $x - 5 \neq 0$ и $x + 4 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 5$ и $x \neq -4$.

Далее, приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x - 5)(x + 4)$:

$\frac{2(x + 4)}{(x - 5)(x + 4)} + \frac{11(x - 5)}{(x - 5)(x + 4)} = 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 5)(x + 4)$, чтобы избавиться от дробей. Это преобразование равносильно, так как мы учли ОДЗ.

$2(x + 4) + 11(x - 5) = (x - 5)(x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2x + 8 + 11x - 55 = x^2 + 4x - 5x - 20$

Приведем подобные слагаемые:

$13x - 47 = x^2 - x - 20$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = x^2 - x - 13x - 20 + 47$

$x^2 - 14x + 27 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 196 - 108 = 88$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{88}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{4 \cdot 22}}{2} = \frac{14 \pm 2\sqrt{22}}{2} = 7 \pm \sqrt{22}$

Итак, мы получили два корня: $x_1 = 7 + \sqrt{22}$ и $x_2 = 7 - \sqrt{22}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

По условию задачи нам нужно найти положительные корни. Проверим знак каждого корня:

Корень $x_1 = 7 + \sqrt{22}$ является суммой двух положительных чисел, следовательно, он положителен.

Для корня $x_2 = 7 - \sqrt{22}$ сравним числа 7 и $\sqrt{22}$. Возведем оба в квадрат: $7^2 = 49$ и $(\sqrt{22})^2 = 22$. Так как $49 > 22$, то $7 > \sqrt{22}$, а значит разность $7 - \sqrt{22}$ положительна.

Следовательно, оба корня уравнения являются положительными.

Ответ: $7 - \sqrt{22}$; $7 + \sqrt{22}$.

2) $\frac{5}{x + 3} + \frac{1}{x - 4} = 3$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): $x + 3 \neq 0$ и $x - 4 \neq 0$, то есть $x \neq -3$ и $x \neq 4$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 3)(x - 4)$:

$\frac{5(x - 4)}{(x + 3)(x - 4)} + \frac{1(x + 3)}{(x + 3)(x - 4)} = 3$

Умножим обе части на $(x + 3)(x - 4)$, учитывая ОДЗ:

$5(x - 4) + (x + 3) = 3(x + 3)(x - 4)$

Раскроем скобки:

$5x - 20 + x + 3 = 3(x^2 - 4x + 3x - 12)$

Приведем подобные слагаемые:

$6x - 17 = 3(x^2 - x - 12)$

$6x - 17 = 3x^2 - 3x - 36$

Соберем все слагаемые в одной части уравнения:

$0 = 3x^2 - 3x - 6x - 36 + 17$

$3x^2 - 9x - 19 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-19) = 81 + 228 = 309$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{309}}{2 \cdot 3} = \frac{9 \pm \sqrt{309}}{6}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{9 + \sqrt{309}}{6}$ и $x_2 = \frac{9 - \sqrt{309}}{6}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Теперь найдем положительные корни.

Корень $x_1 = \frac{9 + \sqrt{309}}{6}$ положителен, так как числитель и знаменатель являются положительными числами.

Для корня $x_2 = \frac{9 - \sqrt{309}}{6}$ нужно определить знак числителя. Сравним 9 и $\sqrt{309}$. Возведем в квадрат: $9^2 = 81$ и $(\sqrt{309})^2 = 309$. Так как $81 < 309$, то $9 < \sqrt{309}$. Следовательно, разность $9 - \sqrt{309}$ отрицательна, а значит и сам корень $x_2$ отрицателен.

Таким образом, только один корень уравнения является положительным.

Ответ: $\frac{9 + \sqrt{309}}{6}$.