Номер 10.21, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.21. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

1) $y = \frac{1}{x}$ и $y = 1,25 - x$;

2) $y = \frac{2x - 3}{x + 1}$ и $y = 3x - 11$;

3) $y = \frac{x - 3}{x + 1}$ и $y = x - 1$.

1) Для нахождения координат точек пересечения графиков функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = 1,25 - x$, необходимо приравнять правые части уравнений. Это даст нам абсциссы точек пересечения.

$\frac{1}{x} = 1,25 - x$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$. Переведем десятичную дробь $1,25$ в обыкновенную для удобства вычислений: $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.

$\frac{1}{x} = \frac{5}{4} - x$

Умножим обе части уравнения на $4x$ (что допустимо, так как $x \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:

$4x \cdot \frac{1}{x} = 4x \cdot (\frac{5}{4} - x)$

$4 = 5x - 4x^2$

Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:

$4x^2 - 5x + 4 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 25 - 64 = -39$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики заданных функций не пересекаются.

Ответ: точек пересечения нет.

2) Найдем координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{2x - 3}{x + 1}$ и $y = 3x - 11$. Приравняем правые части:

$\frac{2x - 3}{x + 1} = 3x - 11$

ОДЗ: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Умножим обе части на $(x+1)$:

$2x - 3 = (3x - 11)(x + 1)$

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные слагаемые:

$2x - 3 = 3x^2 + 3x - 11x - 11$

$2x - 3 = 3x^2 - 8x - 11$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 - 8x - 2x - 11 + 3 = 0$

$3x^2 - 10x - 8 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.

Найдем корни $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$). Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в уравнение прямой $y = 3x - 11$.

Для $x_1 = 4$: $y_1 = 3(4) - 11 = 12 - 11 = 1$.

Для $x_2 = -\frac{2}{3}$: $y_2 = 3(-\frac{2}{3}) - 11 = -2 - 11 = -13$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(4, 1), (-\frac{2}{3}, -13)$.

3) Найдем координаты точек пересечения графиков функций $y = \frac{x - 3}{x + 1}$ и $y = x - 1$. Приравняем правые части:

$\frac{x - 3}{x + 1} = x - 1$

ОДЗ: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Умножим обе части на $(x+1)$:

$x - 3 = (x - 1)(x + 1)$

Правая часть является разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$x - 3 = x^2 - 1^2$

$x - 3 = x^2 - 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - x - 1 + 3 = 0$

$x^2 - x + 2 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, графики данных функций не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет.