Номер 10.27, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.27. 1) $ \frac{13}{2x^2 + x - 21} + \frac{1}{2x + 7} = \frac{6}{x^2 - 9} $

2) $ \frac{4}{x^2 - 16} - \frac{1}{16 + 8x + x^2} = \frac{10}{x^3 - 4x^2 - 16x + 64} $

1) $ \frac{13}{2x^2 + x - 21} + \frac{1}{2x + 7} = \frac{6}{x^2 - 9} $

Первым шагом разложим знаменатели на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 + x - 21$.

Решаем уравнение $2x^2 + x - 21 = 0$ через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
Таким образом, $2x^2 + x - 21 = 2(x - 3)(x + \frac{7}{2}) = (x - 3)(2x + 7)$.

Знаменатель $x^2 - 9$ является разностью квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$ \frac{13}{(x - 3)(2x + 7)} + \frac{1}{2x + 7} = \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} $

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю:
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$2x + 7 \neq 0 \implies x \neq -\frac{7}{2}$
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Общий знаменатель дробей: $(x - 3)(2x + 7)(x + 3)$. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:
$13(x + 3) + 1(x - 3)(x + 3) = 6(2x + 7)$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$13x + 39 + x^2 - 9 = 12x + 42$
$x^2 + 13x + 30 = 12x + 42$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 13x - 12x + 30 - 42 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-12$. Этим условиям удовлетворяют числа $-4$ и $3$.
$x_1 = -4$, $x_2 = 3$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ. Корень $x = -4$ удовлетворяет всем условиям. Корень $x = 3$ не входит в ОДЗ, так как при $x=3$ знаменатели $2x^2 + x - 21$ и $x^2 - 9$ обращаются в ноль. Следовательно, $x = 3$ является посторонним корнем.

Ответ: -4.

2) $ \frac{4}{x^2 - 16} - \frac{1}{16 + 8x + x^2} = \frac{10}{x^3 - 4x^2 - 16x + 64} $

Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель $x^2 - 16$ — это разность квадратов: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$.

Знаменатель $16 + 8x + x^2$ — это полный квадрат суммы: $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$.

Знаменатель $x^3 - 4x^2 - 16x + 64$ разложим на множители методом группировки:
$x^3 - 4x^2 - 16x + 64 = x^2(x - 4) - 16(x - 4) = (x - 4)(x^2 - 16) = (x - 4)(x - 4)(x + 4) = (x - 4)^2(x + 4)$.

Уравнение принимает вид:
$ \frac{4}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{1}{(x + 4)^2} = \frac{10}{(x - 4)^2(x + 4)} $

ОДЗ: $x - 4 \neq 0$ и $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Наименьший общий знаменатель: $(x - 4)^2(x + 4)^2$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель:
$4 \cdot \frac{(x - 4)^2(x + 4)^2}{(x - 4)(x + 4)} - 1 \cdot \frac{(x - 4)^2(x + 4)^2}{(x + 4)^2} = 10 \cdot \frac{(x - 4)^2(x + 4)^2}{(x - 4)^2(x + 4)}$
$4(x - 4)(x + 4) - (x - 4)^2 = 10(x + 4)$

Раскроем скобки и упростим:
$4(x^2 - 16) - (x^2 - 8x + 16) = 10x + 40$
$4x^2 - 64 - x^2 + 8x - 16 = 10x + 40$
$3x^2 + 8x - 80 = 10x + 40$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$3x^2 + 8x - 10x - 80 - 40 = 0$
$3x^2 - 2x - 120 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-120) = 4 + 1440 = 1444 = 38^2$
$x_1 = \frac{-(-2) + 38}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 38}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3}$
$x_2 = \frac{-(-2) - 38}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 38}{6} = \frac{-36}{6} = -6$

Оба корня, $x_1 = \frac{20}{3}$ и $x_2 = -6$, принадлежат ОДЗ ($x \neq 4$ и $x \neq -4$).

Ответ: -6; $\frac{20}{3}$.