Номер 10.28, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.28.

1) $\frac{1}{y-3} + \frac{1}{y} - \frac{4}{y-2} = 0;$

2) $\frac{1}{2(y+1)} + \frac{1}{y+2} - \frac{3}{y+3} = 0.$

1)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{y-3} + \frac{1}{y} - \frac{4}{y-2} = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю:

$ y-3 \neq 0 \implies y \neq 3 $

$ y \neq 0 $

$ y-2 \neq 0 \implies y \neq 2 $

Приведем все дроби к общему знаменателю $ y(y-3)(y-2) $. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на недостающие множители:

$ \frac{1 \cdot y(y-2)}{y(y-3)(y-2)} + \frac{1 \cdot (y-3)(y-2)}{y(y-3)(y-2)} - \frac{4 \cdot y(y-3)}{y(y-3)(y-2)} = 0 $

Теперь мы можем записать уравнение для числителя, так как дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен (что учтено в ОДЗ):

$ y(y-2) + (y-3)(y-2) - 4y(y-3) = 0 $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ (y^2 - 2y) + (y^2 - 2y - 3y + 6) - (4y^2 - 12y) = 0 $

$ y^2 - 2y + y^2 - 5y + 6 - 4y^2 + 12y = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (y^2 + y^2 - 4y^2) + (-2y - 5y + 12y) + 6 = 0 $

$ -2y^2 + 5y + 6 = 0 $

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства решения:

$ 2y^2 - 5y - 6 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 25 + 48 = 73 $

Поскольку $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня:

$ y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - \sqrt{73}}{4} $

$ y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{73}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + \sqrt{73}}{4} $

Оба корня не равны 0, 2 или 3, следовательно, они входят в ОДЗ и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $ \frac{5 - \sqrt{73}}{4}; \frac{5 + \sqrt{73}}{4} $.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{2(y+1)} + \frac{1}{y+2} - \frac{3}{y+3} = 0 $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ y+1 \neq 0 \implies y \neq -1 $

$ y+2 \neq 0 \implies y \neq -2 $

$ y+3 \neq 0 \implies y \neq -3 $

Общий знаменатель для всех дробей равен $ 2(y+1)(y+2)(y+3) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (y+2)(y+3)}{2(y+1)(y+2)(y+3)} + \frac{1 \cdot 2(y+1)(y+3)}{2(y+1)(y+2)(y+3)} - \frac{3 \cdot 2(y+1)(y+2)}{2(y+1)(y+2)(y+3)} = 0 $

Приравняем числитель к нулю:

$ (y+2)(y+3) + 2(y+1)(y+3) - 6(y+1)(y+2) = 0 $

Раскроем скобки:

$ (y^2 + 3y + 2y + 6) + 2(y^2 + 3y + y + 3) - 6(y^2 + 2y + y + 2) = 0 $

$ (y^2 + 5y + 6) + 2(y^2 + 4y + 3) - 6(y^2 + 3y + 2) = 0 $

$ y^2 + 5y + 6 + 2y^2 + 8y + 6 - 6y^2 - 18y - 12 = 0 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ (y^2 + 2y^2 - 6y^2) + (5y + 8y - 18y) + (6 + 6 - 12) = 0 $

$ -3y^2 - 5y = 0 $

Умножим уравнение на -1:

$ 3y^2 + 5y = 0 $

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$ y(3y + 5) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$ y_1 = 0 $

или

$ 3y + 5 = 0 \implies 3y = -5 \implies y_2 = -\frac{5}{3} $

Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ ($y \neq -1, -2, -3$).

$ y_1 = 0 $ удовлетворяет ОДЗ.

$ y_2 = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} $ также удовлетворяет ОДЗ.

Следовательно, оба значения являются корнями уравнения.

Ответ: $ 0; -\frac{5}{3} $.