Номер 10.35, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (10.35–10.40):

10.35. 1)

$$\frac{6}{x^3 - 7x^2 - 7x + 1} = \frac{8}{x^3 - 8x^2 + x} + \frac{1}{x^2 + x};$$

2)

$$\frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 + 2x^2 + 4x + 8} = \frac{2x + 2}{x^2 - 4}.$$

1)

Дано уравнение: $ \frac{6}{x^3 - 7x^2 - 7x + 1} = \frac{8}{x^3 - 8x^2 + x} + \frac{1}{x^2 + x} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x^3 - 7x^2 - 7x + 1$. Это возвратный многочлен нечетной степени, поэтому $x=-1$ является его корнем: $(-1)^3 - 7(-1)^2 - 7(-1) + 1 = -1 - 7 + 7 + 1 = 0$. Разделим многочлен на $(x+1)$ и получим $x^2 - 8x + 1$. Таким образом, $x^3 - 7x^2 - 7x + 1 = (x+1)(x^2 - 8x + 1)$.

Знаменатель второй дроби: $x^3 - 8x^2 + x = x(x^2 - 8x + 1)$.

Знаменатель третьей дроби: $x^2 + x = x(x+1)$.

ОДЗ определяется условием, что все знаменатели не равны нулю: $x(x+1)(x^2 - 8x + 1) \neq 0$.

Отсюда $x \neq 0$, $x \neq -1$ и $x^2 - 8x + 1 \neq 0$. Решая квадратное уравнение $x^2 - 8x + 1 = 0$, находим корни $x = \frac{8 \pm \sqrt{64-4}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$.

Итак, ОДЗ: $x \neq 0, x \neq -1, x \neq 4 \pm \sqrt{15}$.

Перепишем исходное уравнение с разложенными знаменателями:

$ \frac{6}{(x+1)(x^2 - 8x + 1)} = \frac{8}{x(x^2 - 8x + 1)} + \frac{1}{x(x+1)} $

Общий знаменатель: $x(x+1)(x^2 - 8x + 1)$. Умножим обе части уравнения на него, учитывая ОДЗ:

$ 6x = 8(x+1) + 1(x^2 - 8x + 1) $

Раскроем скобки и упростим:

$ 6x = 8x + 8 + x^2 - 8x + 1 $

$ 6x = x^2 + 9 $

$ x^2 - 6x + 9 = 0 $

Это формула полного квадрата:

$ (x-3)^2 = 0 $

Отсюда получаем единственный корень $x=3$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Поскольку $3 \neq 0$, $3 \neq -1$ и $3 \neq 4 \pm \sqrt{15}$, корень входит в ОДЗ.

Ответ: $3$

2)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 + 2x^2 + 4x + 8} = \frac{2x + 2}{x^2 - 4} $.

Найдем ОДЗ, разложив знаменатели на множители.

Первый знаменатель: $x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = x^2(x-2) + 4(x-2) = (x-2)(x^2+4)$.

Второй знаменатель: $x^3 + 2x^2 + 4x + 8 = x^2(x+2) + 4(x+2) = (x+2)(x^2+4)$.

Третий знаменатель: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

ОДЗ: $(x-2)(x+2)(x^2+4) \neq 0$. Так как $x^2+4 > 0$ для любого действительного $x$, то условия сводятся к $x-2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$.

Итак, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$ \frac{x^2 - 2x + 4}{(x-2)(x^2 + 4)} + \frac{x^2 + 2x + 4}{(x+2)(x^2 + 4)} = \frac{2x + 2}{(x-2)(x+2)} $

Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)(x^2+4)$. Умножим обе части уравнения на него:

$ (x+2)(x^2 - 2x + 4) + (x-2)(x^2 + 2x + 4) = (2x + 2)(x^2 + 4) $

Левая часть уравнения представляет собой сумму выражений, которые сворачиваются по формулам суммы и разности кубов:

$(x+2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$

$(x-2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$

Подставим эти выражения в уравнение:

$ (x^3 + 8) + (x^3 - 8) = (2x + 2)(x^2 + 4) $

$ 2x^3 = 2x^3 + 8x + 2x^2 + 8 $

Вычтем $2x^3$ из обеих частей:

$ 0 = 2x^2 + 8x + 8 $

Разделим уравнение на 2:

$ x^2 + 4x + 4 = 0 $

Это формула полного квадрата:

$ (x+2)^2 = 0 $

Отсюда получаем единственный корень $x=-2$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Полученный корень $x=-2$ не входит в область допустимых значений, так как он обращает в ноль знаменатели второй и третьей дробей в исходном уравнении. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: корней нет