Номер 10.39, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.39. 1)

$\frac{19 - 2x}{x^2 + 5x + 4} - \frac{2x + 9}{x^2 + 3x + 2} = \frac{4x}{x^2 + 6x + 8};$

2) $\frac{2x}{x^2 + x - 2} + \frac{2}{3(x^2 - 4x + 3)} = \frac{5}{3(x^2 - x - 6)}.$

1) $\frac{19 - 2x}{x^2 + 5x + 4} - \frac{2x + 9}{x^2 + 3x + 2} = \frac{4x}{x^2 + 6x + 8}$
Разложим знаменатели дробей на множители. Для этого решим соответствующие квадратные уравнения.
1. $x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = -4$. Значит, $x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)$.
2. $x^2 + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = -2$. Значит, $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$.
3. $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -2$, $x_2 = -4$. Значит, $x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$.
Перепишем уравнение в новом виде:
$\frac{19 - 2x}{(x+1)(x+4)} - \frac{2x + 9}{(x+1)(x+2)} = \frac{4x}{(x+2)(x+4)}$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \neq -1$, $x \neq -2$, $x \neq -4$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x+2)(x+4)$:
$\frac{(19 - 2x)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+4)} - \frac{(2x + 9)(x+4)}{(x+1)(x+2)(x+4)} = \frac{4x(x+1)}{(x+1)(x+2)(x+4)}$
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, при условии что $x$ входит в ОДЗ:
$(19 - 2x)(x+2) - (2x + 9)(x+4) = 4x(x+1)$
Раскроем скобки:
$(19x + 38 - 2x^2 - 4x) - (2x^2 + 8x + 9x + 36) = 4x^2 + 4x$
$(-2x^2 + 15x + 38) - (2x^2 + 17x + 36) = 4x^2 + 4x$
$-2x^2 + 15x + 38 - 2x^2 - 17x - 36 = 4x^2 + 4x$
Приведем подобные слагаемые:
$-4x^2 - 2x + 2 = 4x^2 + 4x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$8x^2 + 6x - 2 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$4x^2 + 3x - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$
$x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = \frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) $\frac{2x}{x^2 + x - 2} + \frac{2}{3(x^2 - 4x + 3)} = \frac{5}{3(x^2 - x - 6)}$
Разложим на множители квадратные трехчлены в знаменателях.
1. $x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$.
2. $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
3. $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.
Подставим разложения в исходное уравнение:
$\frac{2x}{(x+2)(x-1)} + \frac{2}{3(x-1)(x-3)} = \frac{5}{3(x-3)(x+2)}$
ОДЗ: $x \neq -2$, $x \neq 1$, $x \neq 3$.
Общий знаменатель: $3(x-1)(x+2)(x-3)$. Умножим обе части уравнения на него:
$2x \cdot 3(x-3) + 2 \cdot (x+2) = 5 \cdot (x-1)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$6x(x-3) + 2x + 4 = 5x - 5$
$6x^2 - 18x + 2x + 4 = 5x - 5$
$6x^2 - 16x + 4 = 5x - 5$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$6x^2 - 16x - 5x + 4 + 5 = 0$
$6x^2 - 21x + 9 = 0$
Разделим все уравнение на 3 для упрощения:
$2x^2 - 7x + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = 3$ не входит в ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{2}$.