Номер 10.45, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.45. Разложите на множители многочлен:

1) $x^3 - 2x^2 - 8x;$

2) $x^3 - 1 - 2x^2 + 2x;$

3) $x^3 - 2x^2 + 4x - 8;$

4) $x^4 - x^2 + 20x - 100.$

1) $x^3 - 2x^2 - 8x$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 - 2x^2 - 8x = x(x^2 - 2x - 8)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 2x - 8$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 2, а их произведение равно -8. Корнями являются числа 4 и -2.

Следовательно, разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x - (-2)) = (x - 4)(x + 2)$

Таким образом, полное разложение исходного многочлена:

$x(x - 4)(x + 2)$

Ответ: $x(x - 4)(x + 2)$

2) $x^3 - 1 - 2x^2 + 2x$

Сгруппируем слагаемые для применения метода группировки. Переставим члены многочлена:

$(x^3 - 1) + (-2x^2 + 2x)$

Разложим первую группу $(x^3 - 1)$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Во второй группе $(-2x^2 + 2x)$ вынесем общий множитель $-2x$:

$-2x^2 + 2x = -2x(x - 1)$

Подставим полученные выражения обратно:

$(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2x(x - 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)((x^2 + x + 1) - 2x)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 1)(x^2 + x + 1 - 2x) = (x - 1)(x^2 - x + 1)$

Ответ: $(x - 1)(x^2 - x + 1)$

3) $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$

Применим метод группировки. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$(x^3 - 2x^2) + (4x - 8)$

Из первой группы вынесем общий множитель $x^2$:

$x^2(x - 2)$

Из второй группы вынесем общий множитель 4:

$4(x - 2)$

Теперь выражение выглядит так:

$x^2(x - 2) + 4(x - 2)$

Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^2 + 4)$

Ответ: $(x - 2)(x^2 + 4)$

4) $x^4 - x^2 + 20x - 100$

Выделим в выражении полный квадрат. Для этого сгруппируем последние три слагаемых и вынесем минус за скобку:

$x^4 - (x^2 - 20x + 100)$

Выражение в скобках $x^2 - 20x + 100$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, где $a=x$ и $b=10$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = (x - 10)^2$

Подставим полученный квадрат в исходное выражение:

$x^4 - (x - 10)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2$ и $b = (x - 10)$:

$(x^2 - (x - 10))(x^2 + (x - 10))$

Раскроем внутренние скобки:

$(x^2 - x + 10)(x^2 + x - 10)$

Ответ: $(x^2 - x + 10)(x^2 + x - 10)$