Номер 11.3, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.3.

1) $x^2 - |x - 5| = 5;$

2) $x^2 + |x + 4| = 4;$

3) $x^2 + 4x + |x + 3| + 3 = 0;$

4) $x^2 + 17 = 9x + 4|x - 3|.$

1) $x^2 - |x - 5| = 5$

Для решения данного уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.

В этом случае $|x - 5| = x - 5$, и уравнение принимает вид:

$x^2 - (x - 5) = 5$

$x^2 - x + 5 = 5$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge 5$.

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \ge 5$.

$x_2 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 5$.

Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$.

В этом случае $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$, и уравнение принимает вид:

$x^2 - (5 - x) = 5$

$x^2 + x - 5 = 5$

$x^2 + x - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41$.

Корни уравнения: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$.

$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$ и $x_4 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < 5$.

Для $x_3 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$: так как $6 < \sqrt{41} < 7$, то $\frac{-1 + 6}{2} < x_3 < \frac{-1 + 7}{2}$, то есть $2.5 < x_3 < 3$. Это значение удовлетворяет условию $x < 5$.

Для $x_4 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$: так как $6 < \sqrt{41} < 7$, то $\frac{-1 - 7}{2} < x_4 < \frac{-1 - 6}{2}$, то есть $-4 < x_4 < -3.5$. Это значение удовлетворяет условию $x < 5$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$, $x = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$.

2) $x^2 + |x + 4| = 4$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.

В этом случае $|x + 4| = x + 4$, и уравнение принимает вид:

$x^2 + (x + 4) = 4$

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

Проверим условие $x \ge -4$. Оба корня ($0 \ge -4$ и $-1 \ge -4$) удовлетворяют этому условию, значит, являются решениями.

Случай 2: $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$.

В этом случае $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$, и уравнение принимает вид:

$x^2 + (-x - 4) = 4$

$x^2 - x - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 1 + 32 = 33$.

Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$.

$x_3 = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ и $x_4 = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$.

Проверим условие $x < -4$.

Для $x_3 = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$: так как $5 < \sqrt{33} < 6$, то $x_3 \approx \frac{1+5.7}{2} \approx 3.35$. Это значение не удовлетворяет условию $x < -4$.

Для $x_4 = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$: $x_4 \approx \frac{1-5.7}{2} \approx -2.35$. Это значение также не удовлетворяет условию $x < -4$.

Следовательно, в этом случае решений нет.

Ответ: $-1; 0$.

3) $x^2 + 4x + |x + 3| + 3 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

В этом случае $|x + 3| = x + 3$. Уравнение становится:

$x^2 + 4x + (x + 3) + 3 = 0$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -3$.

Проверим условие $x \ge -3$. Оба корня ($-2 \ge -3$ и $-3 \ge -3$) удовлетворяют ему.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.

В этом случае $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. Уравнение становится:

$x^2 + 4x - (x + 3) + 3 = 0$

$x^2 + 3x = 0$

$x(x + 3) = 0$

Корни: $x_3 = 0$, $x_4 = -3$.

Проверим условие $x < -3$.

$x_3 = 0$ не удовлетворяет условию $0 < -3$.

$x_4 = -3$ не удовлетворяет строгому неравенству $-3 < -3$.

В этом случае новых решений нет.

Ответ: $-3; -2$.

4) $x^2 + 17 = 9x + 4|x - 3|$

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 9x + 17 - 4|x - 3| = 0$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Уравнение становится:

$x^2 - 9x + 17 - 4(x - 3) = 0$

$x^2 - 9x + 17 - 4x + 12 = 0$

$x^2 - 13x + 29 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 169 - 116 = 53$.

Корни: $x = \frac{13 \pm \sqrt{53}}{2}$.

Проверим условие $x \ge 3$.

$x_1 = \frac{13 + \sqrt{53}}{2}$. Так как $7 < \sqrt{53} < 8$, то $x_1 \approx \frac{13+7.3}{2} \approx 10.15$. $10.15 \ge 3$, корень подходит.

$x_2 = \frac{13 - \sqrt{53}}{2}$. Так как $7 < \sqrt{53} < 8$, то $x_2 \approx \frac{13-7.3}{2} \approx 2.85$. $2.85 \not\ge 3$, корень не подходит.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.

В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Уравнение становится:

$x^2 - 9x + 17 - 4(3 - x) = 0$

$x^2 - 9x + 17 - 12 + 4x = 0$

$x^2 - 5x + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Корни: $x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Проверим условие $x < 3$.

$x_3 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $x_3 \approx \frac{5+2.2}{2} \approx 3.6$. $3.6 \not< 3$, корень не подходит.

$x_4 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $x_4 \approx \frac{5-2.2}{2} \approx 1.4$. $1.4 < 3$, корень подходит.

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{13 + \sqrt{53}}{2}$.