Номер 11.4, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.4. 1) $x = 5 + 4\sqrt{x}$;

2) $x - 12\sqrt{x} + 35 = 0$;

3) $2x - 1 = 3\sqrt{2x-1}$;

4) $3x - 5 - 2\sqrt{3x-5} = 0$.

1) Дано уравнение $x = 5 + 4\sqrt{x}$.
Перепишем уравнение в виде $x - 4\sqrt{x} - 5 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием подкоренного выражения: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$t^2 - 4t - 5 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его, используя теорему Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = 4$, а произведение корней $t_1 \cdot t_2 = -5$. Отсюда легко найти корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 5$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию, следовательно, это посторонний корень.
Выполним обратную замену для $t = 5$:
$\sqrt{x} = 5$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти $x$:
$x = 5^2 = 25$.
Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:
$25 = 5 + 4\sqrt{25} \implies 25 = 5 + 4 \cdot 5 \implies 25 = 5 + 20 \implies 25 = 25$.
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $25$.

2) Дано уравнение $x - 12\sqrt{x} + 35 = 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Уравнение примет вид:
$t^2 - 12t + 35 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 12$ и $t_1 \cdot t_2 = 35$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = 7$.
Оба корня ($5$ и $7$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) Если $t = 5$, то $\sqrt{x} = 5$, откуда $x_1 = 25$.
2) Если $t = 7$, то $\sqrt{x} = 7$, откуда $x_2 = 49$.
Проверим оба решения:
Для $x=25$: $25 - 12\sqrt{25} + 35 = 25 - 12 \cdot 5 + 35 = 25 - 60 + 35 = 0$.
Для $x=49$: $49 - 12\sqrt{49} + 35 = 49 - 12 \cdot 7 + 35 = 49 - 84 + 35 = 0$.
Оба корня подходят.
Ответ: $25; 49$.

3) Дано уравнение $2x - 1 = 3\sqrt{2x - 1}$.
ОДЗ: $2x - 1 \ge 0$, откуда $2x \ge 1$ и $x \ge \frac{1}{2}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{2x - 1}$, где $t \ge 0$. Тогда $2x - 1 = t^2$.
Подставим замену в уравнение:
$t^2 = 3t$
$t^2 - 3t = 0$
$t(t - 3) = 0$
Отсюда получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену:
1) Если $t = 0$, то $\sqrt{2x - 1} = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{2}$ (или 0.5).
2) Если $t = 3$, то $\sqrt{2x - 1} = 3 \implies 2x - 1 = 3^2 \implies 2x - 1 = 9 \implies 2x = 10 \implies x_2 = 5$.
Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ. Проверка подтверждает, что оба являются решениями.
Ответ: $0.5; 5$.

4) Дано уравнение $3x - 5 - 2\sqrt{3x - 5} = 0$.
ОДЗ: $3x - 5 \ge 0$, откуда $3x \ge 5$ и $x \ge \frac{5}{3}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{3x - 5}$, где $t \ge 0$. Тогда $3x - 5 = t^2$.
Подставим замену в уравнение:
$t^2 - 2t = 0$
$t(t - 2) = 0$
Отсюда получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену:
1) Если $t = 0$, то $\sqrt{3x - 5} = 0 \implies 3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x_1 = \frac{5}{3}$.
2) Если $t = 2$, то $\sqrt{3x - 5} = 2 \implies 3x - 5 = 2^2 \implies 3x - 5 = 4 \implies 3x = 9 \implies x_2 = 3$.
Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ. Проверка подтверждает, что оба являются решениями.
Ответ: $\frac{5}{3}; 3$.