Номер 11.2, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.2. 1) $x^2 - 7|x| + 6 = 0$;

2) $x^2 - 4|x| - 21 = 0$;

3) $(x - 2)^2 - 8|x - 2| + 15 = 0$;

4) $(x + 3)^2 - |x + 3| - 30 = 0$.

1) $x^2 - 7|x| + 6 = 0$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Поэтому уравнение можно переписать в виде $|x|^2 - 7|x| + 6 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, при этом, по определению модуля, $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 7t + 6 = 0$.

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а их произведение равно $6$. Корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 6$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $|x| = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.

2. Если $t = 6$, то $|x| = 6$, откуда $x = 6$ или $x = -6$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-6; -1; 1; 6$.

2) $x^2 - 4|x| - 21 = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать как $|x|^2 - 4|x| - 21 = 0$.

Введем новую переменную $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:
$t^2 - 4t - 21 = 0$.

Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.

Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2} = -3$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2} = 7$.

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Остается единственный подходящий корень $t_2 = 7$.

Выполним обратную замену: $|x| = 7$.

Из этого уравнения получаем два решения: $x = 7$ и $x = -7$.

Ответ: $-7; 7$.

3) $(x - 2)^2 - 8|x - 2| + 15 = 0$

Так как $(x - 2)^2 = |x - 2|^2$, сделаем замену переменной $t = |x - 2|$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:
$t^2 - 8t + 15 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $8$, произведение равно $15$. Следовательно, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 5$.

Оба корня положительные, поэтому оба подходят.

Вернемся к переменной $x$:

1. $|x - 2| = 3$. Это уравнение равносильно совокупности:
$x - 2 = 3$ или $x - 2 = -3$.
$x = 5$ или $x = -1$.

2. $|x - 2| = 5$. Это уравнение равносильно совокупности:
$x - 2 = 5$ или $x - 2 = -5$.
$x = 7$ или $x = -3$.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; -1; 5; 7$.

4) $(x + 3)^2 - |x + 3| - 30 = 0$

Заметим, что $(x + 3)^2 = |x + 3|^2$. Введем замену $t = |x + 3|$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:
$t^2 - t - 30 = 0$.

Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-30$. Корнями являются $t_1 = 6$ и $t_2 = -5$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его.

Остается корень $t_1 = 6$.

Выполним обратную замену: $|x + 3| = 6$.

Это уравнение распадается на два:

1. $x + 3 = 6$, откуда $x = 3$.

2. $x + 3 = -6$, откуда $x = -9$.

Ответ: $-9; 3$.