Номер 10.46, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.46. Для каких значений параметра $a$ имеет действительные корни уравнение:

1) $ax^2 - 4x + 3 = 0;$

2) $ax^2 - 2x - 8 = 0;$

3) $x^2 - 4x + 3a = 0;$

4) $x^2 - 4x + 12a = 0?$

1) $ax^2 - 4x + 3 = 0$

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным, то есть $a \neq 0$.
Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.
Найдем дискриминант для уравнения $ax^2 - 4x + 3 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot a \cdot 3 = 16 - 12a$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$16 - 12a \ge 0$
$16 \ge 12a$
$a \le \frac{16}{12}$
$a \le \frac{4}{3}$.
С учетом условия $a \neq 0$, получаем, что в этом случае $a \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3}]$.

Случай 2: Уравнение является линейным, то есть $a = 0$.
Подставим $a=0$ в исходное уравнение:
$0 \cdot x^2 - 4x + 3 = 0$
$-4x + 3 = 0$
$-4x = -3$
$x = \frac{3}{4}$.
Уравнение имеет один действительный корень, что удовлетворяет условию задачи. Следовательно, $a=0$ является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет действительные корни при $a \le \frac{4}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty, \frac{4}{3}]$

2) $ax^2 - 2x - 8 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным, то есть $a \neq 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot a \cdot (-8) = 4 + 32a$.
Условие наличия действительных корней: $D \ge 0$.
$4 + 32a \ge 0$
$32a \ge -4$
$a \ge -\frac{4}{32}$
$a \ge -\frac{1}{8}$.
С учетом $a \neq 0$, получаем $a \in [-\frac{1}{8}, 0) \cup (0, +\infty)$.

Случай 2: Уравнение является линейным, то есть $a = 0$.
При $a=0$ уравнение принимает вид:
$0 \cdot x^2 - 2x - 8 = 0$
$-2x - 8 = 0$
$-2x = 8$
$x = -4$.
Уравнение имеет один действительный корень, поэтому $a=0$ является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет действительные корни при $a \ge -\frac{1}{8}$.

Ответ: $a \in [-\frac{1}{8}, +\infty)$

3) $x^2 - 4x + 3a = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (не равен нулю).
Уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a) = 16 - 12a$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$16 - 12a \ge 0$
$16 \ge 12a$
$a \le \frac{16}{12}$
$a \le \frac{4}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty, \frac{4}{3}]$

4) $x^2 - 4x + 12a = 0$

Данное уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ равен 1).
Для наличия действительных корней дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12a) = 16 - 48a$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$16 - 48a \ge 0$
$16 \ge 48a$
$a \le \frac{16}{48}$
$a \le \frac{1}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty, \frac{1}{3}]$