Номер 10.41, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.41. Решите уравнение с параметром:

1) $\frac{x^2 + (3 - a)x - 3a}{x^2 - x - 12} = 0;$

2) $\frac{x^2 - (a + 1)x + 2a - 2}{3x^2 - 7x + 2} = 0;$

3) $\frac{x^2 - (3b - 1)x + 2b^2 - 2b}{x^2 - 7x + 6} = 0;$

4) $\frac{x^2 + (1 - 4b)x + 3b^2 - b}{2x^2 + 3x - 5} = 0.$

1)

Исходное уравнение $\frac{x^2 + (3 - a)x - 3a}{x^2 - x - 12} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + (3 - a)x - 3a = 0, \\ x^2 - x - 12 \neq 0. \end{cases}$

Найдем корни знаменателя, решив уравнение $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условиями $x \neq 4$ и $x \neq -3$.

Теперь решим уравнение числителя: $x^2 + (3 - a)x - 3a = 0$. По теореме Виета (или разложением на множители $(x-a)(x+3)=0$) находим его корни: $x_1 = a$ и $x_2 = -3$.

Сравним корни числителя с ОДЗ. Корень $x = -3$ не входит в ОДЗ, поэтому он не может быть решением исходного уравнения ни при каких значениях параметра $a$.

Второй корень $x = a$ будет решением уравнения, если он удовлетворяет ОДЗ, то есть $a \neq 4$ и $a \neq -3$.

Проанализируем различные значения параметра $a$:

1. Если $a = 4$, то корень $x=a$ совпадает с недопустимым значением $x=4$. В этом случае у уравнения нет решений.

2. Если $a = -3$, то оба корня числителя совпадают и равны $-3$, что является недопустимым значением. В этом случае у уравнения также нет решений.

3. Если $a \neq 4$ и $a \neq -3$, то корень $x = a$ является единственным решением уравнения.

Ответ: при $a \in \{-3, 4\}$ решений нет; при $a \notin \{-3, 4\}$, $x=a$.

2)

Исходное уравнение $\frac{x^2 - (a + 1)x + 2a - 2}{3x^2 - 7x + 2} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - (a + 1)x + 2a - 2 = 0, \\ 3x^2 - 7x + 2 \neq 0. \end{cases}$

Найдем корни знаменателя: $3x^2 - 7x + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$. Корни $x_1 = \frac{7-5}{6} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{7+5}{6} = 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq \frac{1}{3}$ и $x \neq 2$.

Решим уравнение числителя: $x^2 - (a + 1)x + 2a - 2 = 0$. Можно разложить на множители: $x^2 - ax - x + 2a - 2 = (x^2 - x - 2) - a(x - 2) = (x-2)(x+1) - a(x-2) = (x-2)(x+1-a) = 0$. Корни числителя: $x_1 = 2$ и $x_2 = a - 1$.

Сравним корни числителя с ОДЗ. Корень $x = 2$ не входит в ОДЗ, поэтому он не является решением исходного уравнения ни при каких значениях $a$.

Второй корень $x = a-1$ будет решением, если он удовлетворяет ОДЗ: $a-1 \neq \frac{1}{3}$ и $a-1 \neq 2$.

Из $a-1 \neq \frac{1}{3}$ следует $a \neq \frac{4}{3}$.

Из $a-1 \neq 2$ следует $a \neq 3$.

Проанализируем различные значения параметра $a$:

1. Если $a = \frac{4}{3}$, то корень $x=a-1$ совпадает с недопустимым значением $x=\frac{1}{3}$. Решений нет.

2. Если $a = 3$, то корень $x=a-1$ совпадает с недопустимым значением $x=2$. Решений нет.

3. Если $a \neq \frac{4}{3}$ и $a \neq 3$, то единственным решением является $x = a - 1$.

Ответ: при $a \in \{3, \frac{4}{3}\}$ решений нет; при $a \notin \{3, \frac{4}{3}\}$, $x=a-1$.

3)

Исходное уравнение $\frac{x^2 - (3b - 1)x + 2b^2 - 2b}{x^2 - 7x + 6} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - (3b - 1)x + 2b^2 - 2b = 0, \\ x^2 - 7x + 6 \neq 0. \end{cases}$

Корни знаменателя из $x^2 - 7x + 6 = 0$ по теореме Виета $x_1 = 1, x_2 = 6$. ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 6$.

Решим уравнение числителя $x^2 - (3b - 1)x + 2b^2 - 2b = 0$. Дискриминант $D = (3b-1)^2 - 4(2b^2-2b) = 9b^2-6b+1 - 8b^2+8b = b^2+2b+1 = (b+1)^2$.

Корни числителя: $x = \frac{3b-1 \pm \sqrt{(b+1)^2}}{2} = \frac{3b-1 \pm (b+1)}{2}$.

$x_1 = \frac{3b-1 + b+1}{2} = \frac{4b}{2} = 2b$.

$x_2 = \frac{3b-1 - (b+1)}{2} = \frac{2b-2}{2} = b-1$.

Корни числителя $x_1=2b$ и $x_2=b-1$ являются решениями, если они не равны 1 или 6.

Проверим, при каких $b$ корни числителя совпадают с корнями знаменателя:

1. $2b = 1 \implies b = 1/2$. При $b=1/2$ второй корень $x = b-1 = -1/2$. Это решение.

2. $2b = 6 \implies b = 3$. При $b=3$ второй корень $x = b-1 = 2$. Это решение.

3. $b-1 = 1 \implies b = 2$. При $b=2$ второй корень $x = 2b = 4$. Это решение.

4. $b-1 = 6 \implies b = 7$. При $b=7$ второй корень $x = 2b = 14$. Это решение.

Также рассмотрим случай, когда корни числителя совпадают: $2b=b-1 \implies b=-1$. При $b=-1$ числитель имеет один корень $x = -2$. Это значение допустимо.

Ответ:

при $b = -1$, $x = -2$;

при $b = 1/2$, $x = -1/2$;

при $b = 2$, $x = 4$;

при $b = 3$, $x = 2$;

при $b = 7$, $x = 14$;

при $b \notin \{-1, 1/2, 2, 3, 7\}$, $x_1=2b, x_2=b-1$.

4)

Исходное уравнение $\frac{x^2 + (1 - 4b)x + 3b^2 - b}{2x^2 + 3x - 5} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + (1 - 4b)x + 3b^2 - b = 0, \\ 2x^2 + 3x - 5 \neq 0. \end{cases}$

Найдем корни знаменателя: $2x^2 + 3x - 5 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9+40=49=7^2$. Корни $x_1 = \frac{-3-7}{4} = -5/2$ и $x_2 = \frac{-3+7}{4} = 1$. ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -5/2$.

Решим уравнение числителя $x^2 + (1 - 4b)x + 3b^2 - b = 0$. Дискриминант $D = (1-4b)^2-4(3b^2-b) = 1-8b+16b^2-12b^2+4b = 4b^2-4b+1 = (2b-1)^2$.

Корни числителя: $x = \frac{-(1-4b) \pm \sqrt{(2b-1)^2}}{2} = \frac{4b-1 \pm (2b-1)}{2}$.

$x_1 = \frac{4b-1 + 2b-1}{2} = \frac{6b-2}{2} = 3b-1$.

$x_2 = \frac{4b-1 - (2b-1)}{2} = \frac{2b}{2} = b$.

Корни числителя $x_1=3b-1$ и $x_2=b$ являются решениями, если они не равны 1 или -5/2.

Проверим, при каких $b$ корни числителя совпадают с корнями знаменателя:

1. $b=1$. Второй корень $x=3b-1=2$. Это решение.

2. $b=-5/2$. Второй корень $x=3b-1 = 3(-5/2)-1 = -17/2$. Это решение.

3. $3b-1=1 \implies 3b=2 \implies b=2/3$. Второй корень $x=b=2/3$. Это решение.

4. $3b-1=-5/2 \implies 3b=-3/2 \implies b=-1/2$. Второй корень $x=b=-1/2$. Это решение.

Случай совпадения корней числителя: $b = 3b-1 \implies 2b=1 \implies b=1/2$. При $b=1/2$ числитель имеет один корень $x=1/2$. Это значение допустимо.

Ответ:

при $b = 1/2$, $x = 1/2$;

при $b = 1$, $x = 2$;

при $b = 2/3$, $x = 2/3$;

при $b = -1/2$, $x = -1/2$;

при $b = -5/2$, $x = -17/2$;

при $b \notin \{1/2, 1, 2/3, -1/2, -5/2\}$, $x_1=b, x_2=3b-1$.