Номер 10.36, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.36. 1) $ \frac{38}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{x + 10}{x^2 + x - 10} - \frac{x + 10}{x^2 - x + 10}; $

2) $ \frac{4x}{8x^3 + 1} + \frac{1}{16x^4 - 4x^2 - 4x - 1} = \frac{2}{4x^2 + 2x - 1}. $

1) $\frac{38}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{x+10}{x^2+x-10} - \frac{x+10}{x^2-x+10}$

Сначала преобразуем правую часть уравнения, приведя дроби к общему знаменателю. Заметим, что произведение знаменателей правой части равно знаменателю левой части:

$(x^2+x-10)(x^2-x+10) = (x^2-10+x)(x^2+10-x)$. Это не формула. Раскроем скобки напрямую:

$(x^2+x-10)(x^2-x+10) = x^4 - x^3 + 10x^2 + x^3 - x^2 + 10x - 10x^2 + 10x - 100 = x^4 - x^2 + 20x - 100$.

Таким образом, общий знаменатель — это $x^4 - x^2 + 20x - 100$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

$x^2+x-10 \neq 0$

$x^2-x+10 \neq 0$

Для второго квадратного трехчлена $x^2-x+10$ дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(10) = 1 - 40 = -39 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный, выражение $x^2-x+10$ всегда больше нуля.

Для первого квадратного трехчлена $x^2+x-10=0$ дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(-10) = 1 + 40 = 41 > 0$. Корни $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$. Эти значения $x$ нужно исключить из решения.

Теперь вернемся к уравнению. Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{(x+10)(x^2-x+10) - (x+10)(x^2+x-10)}{(x^2+x-10)(x^2-x+10)}$

Вынесем $(x+10)$ за скобки в числителе:

$\frac{(x+10)((x^2-x+10) - (x^2+x-10))}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{(x+10)(x^2-x+10 - x^2-x+10)}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{(x+10)(-2x+20)}{x^4 - x^2 + 20x - 100}$

$\frac{-2(x+10)(x-10)}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{-2(x^2-100)}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{-2x^2+200}{x^4 - x^2 + 20x - 100}$

Теперь исходное уравнение можно записать так:

$\frac{38}{x^4 - x^2 + 20x - 100} = \frac{-2x^2+200}{x^4 - x^2 + 20x - 100}$

Приравниваем числители, так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ):

$38 = -2x^2 + 200$

$2x^2 = 200 - 38$

$2x^2 = 162$

$x^2 = 81$

$x_1 = 9$, $x_2 = -9$.

Полученные корни не совпадают с исключенными значениями $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$. Следовательно, оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1=9, x_2=-9$.

2) $\frac{4x}{8x^3+1} + \frac{1}{16x^4 - 4x^2 - 4x - 1} = \frac{2}{4x^2+2x-1}$

Примечание: В знаменателе второго слагаемого, вероятно, допущена опечатка. В исходном виде $16x^4 - 4x^2 - 4x - 1$ разложение на множители приводит к очень сложному уравнению. Если предположить, что знаменатель должен быть $16x^4 - 4x^2 + 4x - 1$, то задача решается стандартными методами. Далее приводится решение с этим предположением.

Предполагаемое уравнение:

$\frac{4x}{8x^3+1} + \frac{1}{16x^4 - 4x^2 + 4x - 1} = \frac{2}{4x^2+2x-1}$

Разложим знаменатели на множители:

$8x^3+1 = (2x)^3 + 1^3 = (2x+1)(4x^2-2x+1)$

$16x^4 - 4x^2 + 4x - 1 = (4x^2-2x+1)(4x^2+2x-1)$. Проверим: $(4x^2-2x+1)(4x^2+2x-1) = (4x^2)^2 - (2x-1)^2 = 16x^4 - (4x^2-4x+1) = 16x^4 - 4x^2 + 4x - 1$. Верно.

Уравнение принимает вид:

$\frac{4x}{(2x+1)(4x^2-2x+1)} + \frac{1}{(4x^2-2x+1)(4x^2+2x-1)} = \frac{2}{4x^2+2x-1}$

Область допустимых значений (ОДЗ):

$2x+1 \neq 0 \implies x \neq -1/2$

$4x^2-2x+1 \neq 0$ (дискриминант $D = 4-16=-12<0$, действительных корней нет)

$4x^2+2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(4)(-1)}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Общий знаменатель: $(2x+1)(4x^2-2x+1)(4x^2+2x-1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$4x(4x^2+2x-1) + 1(2x+1) = 2(2x+1)(4x^2-2x+1)$

Раскроем скобки:

$16x^3 + 8x^2 - 4x + 2x + 1 = 2(8x^3+1)$

$16x^3 + 8x^2 - 2x + 1 = 16x^3 + 2$

Сократим $16x^3$:

$8x^2 - 2x + 1 = 2$

$8x^2 - 2x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = (-2)^2 - 4(8)(-1) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

$x = \frac{2 \pm 6}{2 \cdot 8} = \frac{2 \pm 6}{16}$

$x_1 = \frac{2+6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{2-6}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1=\frac{1}{2}, x_2=-\frac{1}{4}$.