Номер 11.9, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.9. С помощью способа разложения на множители решите уравнение:

1) $\frac{x - 2}{x^3} = 2x - x^2;$

2) $\frac{x^2 - 2x - 3}{x^2} = 2x - 6;$

3) $\frac{8x - 4x^2}{1 - x^2} = \frac{x^3 - 4x}{x + 1};$

4) $\frac{x^2 - x - 2}{x - 3} = \frac{2x - 4}{x^2 - 3x}.$

1) $\frac{x-2}{x^3} = 2x - x^2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\frac{x-2}{x^3} - (2x - x^2) = 0$

В выражении $2x - x^2$ вынесем за скобки $-x$: $2x - x^2 = -x(x-2)$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{x-2}{x^3} + x(x - 2) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)\left(\frac{1}{x^3} + x\right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл. Получаем два случая:

а) $x-2=0 \implies x=2$. Данный корень входит в ОДЗ ($2 \neq 0$).

б) $\frac{1}{x^3} + x = 0$. Так как по ОДЗ $x \neq 0$, умножим обе части на $x^3$:

$1 + x^4 = 0$

$x^4 = -1$.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 2.

2) $\frac{x^2 - 2x - 3}{x^2} = 2x - 6$

ОДЗ: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$.

Разложим на множители числитель левой части и выражение в правой части. Для числителя $x^2 - 2x - 3$ найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=3, x_2=-1$. Значит, $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$. В правой части вынесем 2 за скобки: $2x-6 = 2(x-3)$.

Исходное уравнение примет вид:

$\frac{(x-3)(x+1)}{x^2} = 2(x-3)$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{(x-3)(x+1)}{x^2} - 2(x-3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-3)$ за скобки:

$(x-3)\left(\frac{x+1}{x^2} - 2\right) = 0$

Рассмотрим два случая:

а) $x-3=0 \implies x=3$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($3 \neq 0$).

б) $\frac{x+1}{x^2} - 2 = 0$.

$\frac{x+1}{x^2} = 2$. Умножим на $x^2$ (т.к. $x \neq 0$):

$x+1 = 2x^2$

$2x^2 - x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1+8=9$.

Корни: $x_1 = \frac{1+\sqrt{9}}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$; $x_2 = \frac{1-\sqrt{9}}{4} = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Оба корня, $1$ и $-\frac{1}{2}$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -0,5; 1; 3.

3) $\frac{8x - 4x^2}{1 - x^2} = \frac{x^3 - 4x}{x + 1}$

ОДЗ: $1 - x^2 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. Так как $1-x^2 = (1-x)(1+x)$, то условие $1-x^2 \neq 0$ означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Условие $x+1 \neq 0$ уже включено. Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Разложим на множители выражения в уравнении:

$\frac{4x(2 - x)}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{x(x^2 - 4)}{x + 1}$

$\frac{-4x(x - 2)}{(1 - x)(1 + x)} = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x + 1}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{-4x(x - 2)}{(1 - x)(1 + x)} - \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x + 1} = 0$

Вынесем общие множители $x$ и $(x-2)$ за скобки:

$x(x-2)\left(\frac{-4}{(1-x)(1+x)} - \frac{x+2}{x+1}\right) = 0$

Получаем три случая:

а) $x=0$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq \pm 1$).

б) $x-2=0 \implies x=2$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($2 \neq \pm 1$).

в) $\frac{-4}{(1-x)(1+x)} - \frac{x+2}{x+1} = 0$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(1-x)(1+x)$:

$\frac{-4 - (x+2)(1-x)}{(1-x)(1+x)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что выполняется по ОДЗ).

$-4 - (x+2)(1-x) = 0$

$-4 - (x - x^2 + 2 - 2x) = 0$

$-4 - (-x^2 - x + 2) = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1=2, x_2=-3$.

Корень $x=2$ уже найден. Корень $x=-3$ удовлетворяет ОДЗ ($-3 \neq \pm 1$).

Ответ: -3; 0; 2.

4) $\frac{x^2 - x - 2}{x - 3} = \frac{2x - 4}{x^2 - 3x}$

ОДЗ: $x - 3 \neq 0$ и $x^2 - 3x \neq 0$. Выражение $x^2-3x = x(x-3)$, поэтому $x \neq 0$ и $x \neq 3$. Итак, ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 3$.

Разложим на множители выражения в уравнении:

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

$2x - 4 = 2(x-2)$

$x^2-3x = x(x-3)$

Уравнение принимает вид:

$\frac{(x-2)(x+1)}{x-3} = \frac{2(x-2)}{x(x-3)}$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{(x-2)(x+1)}{x-3} - \frac{2(x-2)}{x(x-3)} = 0$

Вынесем общий множитель $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)\left(\frac{x+1}{x-3} - \frac{2}{x(x-3)}\right) = 0$

Получаем два случая:

а) $x-2=0 \implies x=2$. Корень удовлетворяет ОДЗ ($2 \neq 0, 2 \neq 3$).

б) $\frac{x+1}{x-3} - \frac{2}{x(x-3)} = 0$.

Приведем к общему знаменателю $x(x-3)$:

$\frac{x(x+1) - 2}{x(x-3)} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет.

$x(x+1) - 2 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1=1, x_2=-2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($1 \neq 0, 1 \neq 3$ и $-2 \neq 0, -2 \neq 3$).

Ответ: -2; 1; 2.