Номер 11.15, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.15.

1) $x^2 + (\sqrt{x - 2})^2 - 5 = 0;$

2) $x^2 - (\sqrt{x + 3})^2 - 8 = 0;$

3) $x^2 - 3x + \frac{3,5 - x}{|x - 3,5|} = 0;$

4) $x^2 - 4x \cdot \frac{|x - \pi|}{x - \pi} + 2 = 0.$

1) $x^2 + (\sqrt{x-2})^2 - 5 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.
На ОДЗ справедливо тождество $(\sqrt{a})^2 = a$, поэтому уравнение можно упростить:
$x^2 + (x - 2) - 5 = 0$
$x^2 + x - 7 = 0$
Решаем полученное квадратное уравнение по формуле корней:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$.
Получаем два потенциальных корня: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{29}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$.
Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \ge 2$).
Корень $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{29}}{2}$ — отрицательное число, поэтому он не удовлетворяет условию $x \ge 2$ и является посторонним.
Проверим корень $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$. Сравним его с 2: $\frac{-1 + \sqrt{29}}{2} \ge 2 \iff -1 + \sqrt{29} \ge 4 \iff \sqrt{29} \ge 5 \iff 29 \ge 25$. Неравенство верное, значит, корень $x_2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$.

2) $x^2 - (\sqrt{x+3})^2 - 8 = 0$

ОДЗ: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.
Упростим исходное уравнение, раскрыв скобки и квадрат корня:
$x^2 - (x+3) - 8 = 0$
$x^2 - x - 11 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 44}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{1 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - 3\sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2}$.
Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \ge -3$).
Для $x_1 = \frac{1 - 3\sqrt{5}}{2}$: проверим неравенство $\frac{1 - 3\sqrt{5}}{2} \ge -3 \iff 1 - 3\sqrt{5} \ge -6 \iff 7 \ge 3\sqrt{5} \iff 49 \ge 45$. Неравенство верно, $x_1$ — корень.
Для $x_2 = \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2}$: это положительное число, которое очевидно больше -3, поэтому $x_2$ также является корнем.
Ответ: $x_1 = \frac{1 - 3\sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2}$.

3) $x^2 - 3x + \frac{3,5 - x}{|x - 3,5|} = 0$

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $|x - 3,5| \ne 0 \implies x \ne 3,5$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x > 3,5$.
При этом условии $|x - 3,5| = x - 3,5$. Дробь равна $\frac{3,5 - x}{x - 3,5} = \frac{-(x - 3,5)}{x - 3,5} = -1$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - 3x - 1 = 0$.
Корни: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(-1)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Проверим корни на соответствие условию $x > 3,5$.
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2} < 0$, не удовлетворяет.
$x_2 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$. Так как $\sqrt{13} < \sqrt{16} = 4$, то $3+\sqrt{13} < 7$, и $\frac{3 + \sqrt{13}}{2} < 3,5$. Корень не удовлетворяет условию.
В этом случае решений нет.
Случай 2: $x < 3,5$.
При этом условии $|x - 3,5| = -(x - 3,5) = 3,5 - x$. Дробь равна $\frac{3,5 - x}{3,5 - x} = 1$.
Уравнение принимает вид: $x^2 - 3x + 1 = 0$.
Корни: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(1)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Проверим корни на соответствие условию $x < 3,5$.
$x_3 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Так как $\sqrt{5} < 4$, то $3+\sqrt{5} < 7$, и $\frac{3 + \sqrt{5}}{2} < 3,5$. Корень удовлетворяет.
$x_4 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} < \frac{3}{2} = 1,5 < 3,5$. Корень удовлетворяет.
Ответ: $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

4) $x^2 - 4x \cdot \frac{|x - \pi|}{x - \pi} + 2 = 0$

ОДЗ: $x - \pi \ne 0 \implies x \ne \pi$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x > \pi$.
Тогда $\frac{|x - \pi|}{x - \pi} = 1$. Уравнение: $x^2 - 4x + 2 = 0$.
Корни: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.
Проверяем на $x > \pi$ (где $\pi \approx 3,14$):
$x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0,59 < \pi$, не подходит.
$x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3,41 > \pi$, подходит.
Случай 2: $x < \pi$.
Тогда $\frac{|x - \pi|}{x - \pi} = -1$. Уравнение: $x^2 + 4x + 2 = 0$.
Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}$.
Проверяем на $x < \pi$:
$x_3 = -2 - \sqrt{2} < 0 < \pi$, подходит.
$x_4 = -2 + \sqrt{2} \approx -0,59 < \pi$, подходит.
Ответ: $x_1 = 2 + \sqrt{2}, x_2 = -2 - \sqrt{2}, x_3 = -2 + \sqrt{2}$.