Номер 10.22, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.22. При каких значениях a равны значения дробей:

1) $\frac{5a-3}{a+1}$ и $\frac{a}{a-2}$;

2) $\frac{2a-1}{a-1}$ и $\frac{a+4}{a+1}$;

3) $\frac{2a+1}{a-2}$ и $\frac{3a-1}{3-a}$?

Чтобы найти значения a, при которых значения дробей равны, нужно приравнять дроби и решить полученное уравнение. Для каждой пары дробей необходимо также учесть область допустимых значений (ОДЗ), то есть значения a, при которых знаменатели дробей не равны нулю.

1) Приравняем дроби $\frac{5a-3}{a+1}$ и $\frac{a}{a-2}$.

$\frac{5a-3}{a+1} = \frac{a}{a-2}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $a+1 \neq 0$ и $a-2 \neq 0$. Следовательно, $a \neq -1$ и $a \neq 2$.

Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$(5a-3)(a-2) = a(a+1)$
Раскроем скобки:
$5a^2 - 10a - 3a + 6 = a^2 + a$
$5a^2 - 13a + 6 = a^2 + a$
Перенесем все члены в левую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:
$5a^2 - a^2 - 13a - a + 6 = 0$
$4a^2 - 14a + 6 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$2a^2 - 7a + 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
Найдем корни уравнения:
$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}$
$a_1 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$a_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
Оба корня ($3$ и $0.5$) удовлетворяют ОДЗ ($a \neq -1$ и $a \neq 2$).
Ответ: $a=0.5, a=3$.

2) Приравняем дроби $\frac{2a-1}{a-1}$ и $\frac{a+4}{a+1}$.

$\frac{2a-1}{a-1} = \frac{a+4}{a+1}$

ОДЗ: $a-1 \neq 0$ и $a+1 \neq 0$. Следовательно, $a \neq 1$ и $a \neq -1$.

Используем перекрестное умножение:
$(2a-1)(a+1) = (a+4)(a-1)$
Раскроем скобки:
$2a^2 + 2a - a - 1 = a^2 - a + 4a - 4$
$2a^2 + a - 1 = a^2 + 3a - 4$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$2a^2 - a^2 + a - 3a - 1 + 4 = 0$
$a^2 - 2a + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: таких значений a не существует.

3) Приравняем дроби $\frac{2a+1}{a-2}$ и $\frac{3a-1}{3-a}$.

$\frac{2a+1}{a-2} = \frac{3a-1}{3-a}$

ОДЗ: $a-2 \neq 0$ и $3-a \neq 0$. Следовательно, $a \neq 2$ и $a \neq 3$.

Используем перекрестное умножение:
$(2a+1)(3-a) = (3a-1)(a-2)$
Раскроем скобки:
$6a - 2a^2 + 3 - a = 3a^2 - 6a - a + 2$
$-2a^2 + 5a + 3 = 3a^2 - 7a + 2$
Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы коэффициент при $a^2$ был положительным:
$0 = 3a^2 + 2a^2 - 7a - 5a + 2 - 3$
$5a^2 - 12a - 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 144 + 20 = 164$
Найдем корни уравнения:
$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{164}}{2 \cdot 5} = \frac{12 \pm \sqrt{4 \cdot 41}}{10} = \frac{12 \pm 2\sqrt{41}}{10} = \frac{2(6 \pm \sqrt{41})}{10} = \frac{6 \pm \sqrt{41}}{5}$
Получаем два корня:
$a_1 = \frac{6 + \sqrt{41}}{5}$
$a_2 = \frac{6 - \sqrt{41}}{5}$
Оба корня не равны $2$ или $3$, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $a = \frac{6 \pm \sqrt{41}}{5}$.