Номер 10.20, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.20. Решите уравнение и выполните проверку:

1) $\frac{3x + 13}{x + 1} - 4 = \frac{x + 11}{x^2 - 1}$;

2) $\frac{2x + 1}{x - 2} + 4 = \frac{3x - 1}{3 - x}$;

3) $\frac{6x - 2}{x + 1} - 1 = \frac{3x - 2}{2x - 1}$.

1) $ \frac{3x + 13}{x + 1} - 4 = \frac{x + 11}{x^2 - 1} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x^2 - 1 \neq 0 \implies (x - 1)(x + 1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$:

$ \frac{(3x + 13)(x - 1)}{x^2 - 1} - \frac{4(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x + 11}{x^2 - 1} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x^2 - 1)$, поскольку мы уже учли, что он не равен нулю:

$(3x + 13)(x - 1) - 4(x^2 - 1) = x + 11$

Раскроем скобки:

$3x^2 - 3x + 13x - 13 - 4x^2 + 4 = x + 11$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-x^2 + 10x - 9 = x + 11$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = x^2 - 10x + x + 9 + 11$

$x^2 - 9x + 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 9$

$x_1 \cdot x_2 = 20$

Подбором находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \neq \pm 1$ и $5 \neq \pm 1$).

Выполним проверку:

При $x = 4$:

Левая часть: $ \frac{3 \cdot 4 + 13}{4 + 1} - 4 = \frac{12 + 13}{5} - 4 = \frac{25}{5} - 4 = 5 - 4 = 1 $.

Правая часть: $ \frac{4 + 11}{4^2 - 1} = \frac{15}{16 - 1} = \frac{15}{15} = 1 $.

$1 = 1$. Корень $x=4$ найден верно.

При $x = 5$:

Левая часть: $ \frac{3 \cdot 5 + 13}{5 + 1} - 4 = \frac{15 + 13}{6} - 4 = \frac{28}{6} - 4 = \frac{14}{3} - \frac{12}{3} = \frac{2}{3} $.

Правая часть: $ \frac{5 + 11}{5^2 - 1} = \frac{16}{25 - 1} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} $.

$\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$. Корень $x=5$ найден верно.

Ответ: $4; 5$.

2) $ \frac{2x + 1}{x - 2} + 4 = \frac{3x - 1}{3 - x} $

ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$ и $3 - x \neq 0 \implies x \neq 3$.

Преобразуем знаменатель в правой части: $3 - x = -(x - 3)$.

$ \frac{2x + 1}{x - 2} + 4 = -\frac{3x - 1}{x - 3} $

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{2x + 1}{x - 2} + 4 + \frac{3x - 1}{x - 3} = 0 $

Общий знаменатель $(x - 2)(x - 3)$. Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{(2x + 1)(x - 3) + 4(x - 2)(x - 3) + (3x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)} = 0 $

Решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$(2x + 1)(x - 3) + 4(x - 2)(x - 3) + (3x - 1)(x - 2) = 0$

$(2x^2 - 6x + x - 3) + 4(x^2 - 5x + 6) + (3x^2 - 6x - x + 2) = 0$

$2x^2 - 5x - 3 + 4x^2 - 20x + 24 + 3x^2 - 7x + 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$9x^2 - 32x + 23 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 23 = 1024 - 828 = 196 = 14^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 + 14}{2 \cdot 9} = \frac{46}{18} = \frac{23}{9}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 - 14}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($23/9 \neq 2, 23/9 \neq 3$ и $1 \neq 2, 1 \neq 3$).

Выполним проверку:

При $x = 1$:

Левая часть: $ \frac{2 \cdot 1 + 1}{1 - 2} + 4 = \frac{3}{-1} + 4 = -3 + 4 = 1 $.

Правая часть: $ \frac{3 \cdot 1 - 1}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1 $.

$1 = 1$. Корень $x=1$ найден верно.

При $x = 23/9$:

Левая часть: $ \frac{2 \cdot \frac{23}{9} + 1}{\frac{23}{9} - 2} + 4 = \frac{\frac{46}{9} + \frac{9}{9}}{\frac{23}{9} - \frac{18}{9}} + 4 = \frac{\frac{55}{9}}{\frac{5}{9}} + 4 = \frac{55}{5} + 4 = 11 + 4 = 15 $.

Правая часть: $ \frac{3 \cdot \frac{23}{9} - 1}{3 - \frac{23}{9}} = \frac{\frac{23}{3} - \frac{3}{3}}{\frac{27}{9} - \frac{23}{9}} = \frac{\frac{20}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{20}{3} \cdot \frac{9}{4} = 5 \cdot 3 = 15 $.

$15 = 15$. Корень $x=23/9$ найден верно.

Ответ: $1; \frac{23}{9}$.

3) $ \frac{6x - 2}{x + 1} - 1 = \frac{3x - 2}{2x - 1} $

ОДЗ: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$ и $2x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x+1)$:

$ \frac{6x - 2 - (x + 1)}{x + 1} = \frac{3x - 2}{2x - 1} $

$ \frac{6x - 2 - x - 1}{x + 1} = \frac{3x - 2}{2x - 1} $

$ \frac{5x - 3}{x + 1} = \frac{3x - 2}{2x - 1} $

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$(5x - 3)(2x - 1) = (3x - 2)(x + 1)$

Раскроем скобки:

$10x^2 - 5x - 6x + 3 = 3x^2 + 3x - 2x - 2$

$10x^2 - 11x + 3 = 3x^2 + x - 2$

Перенесем все в левую часть:

$10x^2 - 3x^2 - 11x - x + 3 + 2 = 0$

$7x^2 - 12x + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 144 - 140 = 4 = 2^2$

$x_1 = \frac{12 + 2}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$

$x_2 = \frac{12 - 2}{2 \cdot 7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($1 \neq -1, 1 \neq 1/2$ и $5/7 \neq -1, 5/7 \neq 1/2$).

Выполним проверку:

При $x = 1$:

Левая часть: $ \frac{6 \cdot 1 - 2}{1 + 1} - 1 = \frac{4}{2} - 1 = 2 - 1 = 1 $.

Правая часть: $ \frac{3 \cdot 1 - 2}{2 \cdot 1 - 1} = \frac{1}{1} = 1 $.

$1 = 1$. Корень $x=1$ найден верно.

При $x = 5/7$:

Левая часть: $ \frac{6 \cdot \frac{5}{7} - 2}{\frac{5}{7} + 1} - 1 = \frac{\frac{30}{7} - \frac{14}{7}}{\frac{5}{7} + \frac{7}{7}} - 1 = \frac{\frac{16}{7}}{\frac{12}{7}} - 1 = \frac{16}{12} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} $.

Правая часть: $ \frac{3 \cdot \frac{5}{7} - 2}{2 \cdot \frac{5}{7} - 1} = \frac{\frac{15}{7} - \frac{14}{7}}{\frac{10}{7} - \frac{7}{7}} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{3}{7}} = \frac{1}{3} $.

$\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. Корень $x=5/7$ найден верно.

Ответ: $1; \frac{5}{7}$.